第2章 第4讲 函数的对称性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第4讲　函数的对称性

课标要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题．

1．两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 x轴对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 y轴对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．

2．函数自身的对称性

(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；

(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．

常用结论　

1．函数f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

2．函数f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于点(，0)对称．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称．(　　)

(2)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.(　　)

(3)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

2．(必修第一册P87T13改编)函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)

A．(0，0)    B．(0，1)

C．(1，0)    D．(1，1)

解析：选B．因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称．

3．(用结论)若f(x＋2)在R上是偶函数，且f(－1)＝3，则f(5)＝________．

解析：由已知得f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(5)＝f(－1)＝3.

答案：3

4．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________．

解析：y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2).

答案：(－1，2)

考点一　一个函数的对称问题

角度1　轴对称问题

　(多选)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)在[3，5]上单调递增

B．f(x)的最大值是1，最小值是0

C．直线x＝1是函数f(x)图象的一条对称轴

D．当3≤x≤4时，f(x)＝－(x－4)2

【解析】　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x), 又因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；

因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(2－x)＋f(－x)＝0，从而f(2＋x)＋f(x)＝0，所以

f(4＋x)＋f(2＋x)＝0，所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x2单调递增，所以f(x)在[－1，0]上也单调递增，从而f(x)在[－1，1]上单调递增，又因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[3，5]上单调递增，故A正确；

因为f(x)在[－1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[－1，3]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(－1)＝f(3)＝－1，故B错误；

当3≤x≤4时，0≤4－x≤1，所以f(4－x)＝(4－x)2，因为周期为4，所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2，故D正确．

【答案】　ACD

【感悟进阶】　判断函数对称轴的方法

(1)利用偶函数的性质，结合图象的平移寻找对称轴．

(2)利用轴对称的一般性结论：函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(2a－x)＝f(x).

角度2　中心对称问题

　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　)

A．－2    B．－1

C．1    D．2

(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)的图象有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．

【解析】　(1)f(x)＝＝a＋的图象关于点(1，2)对称，则f(x)＋f(2－x)＝4，即a＋＋a＋＝4，解得a＝2.

(2)因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，又y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则两个函数图象的交点关于点(0，1)对称，所以4