第2章 第4讲 函数的对称性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦函数对称性高考核心考点，涵盖自身对称（轴对称、中心对称）及两函数对称关系，按“基础对称规律—常用结论—考点分类（单函数对称、双函数对称、双对称与周期）”逻辑架构知识。通过考点梳理（判断正误、改编题）、方法指导（对称公式推导）、真题训练（例题及分层练习），帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以“数学眼光”观察函数图象对称特征，“数学思维”推导对称公式与周期关系，创新采用“结论应用+图象平移”教学策略。如双对称问题中，结合奇函数与轴对称性质推导周期，培养推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第4讲　函数的对称性 课标要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题． 1．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 x轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 y轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 2．函数自身的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． 常用结论　 1．函数f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2．函数f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于点(，0)对称． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称．(　　) (2)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.(　　) (3)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．(必修第一册P87T13改编)函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 解析：选B．因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称． 3．(用结论)若f(x＋2)在R上是偶函数，且f(－1)＝3，则f(5)＝________． 解析：由已知得f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(5)＝f(－1)＝3. 答案：3 4．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________． 解析：y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 答案：(－1，2) 考点一　一个函数的对称问题 角度1　轴对称问题 　(多选)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在[3，5]上单调递增 B．f(x)的最大值是1，最小值是0 C．直线x＝1是函数f(x)图象的一条对称轴 D．当3≤x≤4时，f(x)＝－(x－4)2 【解析】　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x), 又因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确； 因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(2－x)＋f(－x)＝0，从而f(2＋x)＋f(x)＝0，所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0，所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x2单调递增，所以f(x)在[－1，0]上也单调递增，从而f(x)在[－1，1]上单调递增，又因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[3，5]上单调递增，故A正确； 因为f(x)在[－1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[－1，3]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(－1)＝f(3)＝－1，故B错误； 当3≤x≤4时，0≤4－x≤1，所以f(4－x)＝(4－x)2，因为周期为4，所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2，故D正确． 【答案】　ACD 【感悟进阶】　判断函数对称轴的方法 (1)利用偶函数的性质，结合图象的平移寻找对称轴． (2)利用轴对称的一般性结论：函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(2a－x)＝f(x). 角度2　中心对称问题 　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)的图象有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________． 【解析】　(1)f(x)＝＝a＋的图象关于点(1，2)对称，则f(x)＋f(2－x)＝4，即a＋＋a＋＝4，解得a＝2. (2)因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，又y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则两个函数图象的交点关于点(0，1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4. 【答案】　(1)D　(2)4 【感悟进阶】　y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b，注意结合图象平移会使问题更容易解决． 　1.已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝(　　) A．29 B．11 C．3 D．5 解析：选B．因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f(6)＝3|6-4|＋2＝11. 2．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．若函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝24 解析：选ABC．对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，又y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，故A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，故B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，故C正确；对于D，因为函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，令f(x)＝0，可得x2－2x＝0，可得x＝0或x＝2，由对称性可知，方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝－6，由根与系数的关系可得可得则a＋b＝34，故D错误． 考点二　两个函数的对称问题 　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 【解析】　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 【答案】　A 【感悟进阶】　破解两个函数图象间的对称的方法 (1)利用函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称，即可求出对称轴； (2)利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用． 　1.函数y＝2x-1与y＝21-x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于直线x＝－1对称 D．关于直线x＝2对称 解析：选B．设y＝f(x)＝2x-1，y＝g(x)＝21-x，显然g(x)＝2(2-x)-1＝f(2－x)，故y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称． 2．已知f(x)＝ln (1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(x)的解析式为________． 解析：方法一：设P(x，y)为函数y＝g(x)图象上任意一点，则点P(x，y)关于点(1，0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)的图象上，即－y＝f(2－x)＝ln (x－1).所以y＝－ln (x－1)，所以g(x)＝－ln (x－1). 方法二：f(x)＝ln (1－x)的图象向左平移1个单位长度得y＝ln (－x)的图象，其关于原点对称的图象的函数解析式为y＝－ln x，再向右平移1个单位长度得y＝－ln (x－1)的图象，所以g(x)＝－ln (x－1). 方法三：y＝f(x)关于点(1，0)对称的函数g(x)＝－f(2－x)＝－ln (x－1). 答案：g(x)＝－ln (x－1) 考点三　双对称问题 　已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 【解析】　方法一：因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数， 所以f(x)的图象关于原点对称，① 且f(0)＝0，因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，② 由①②可得f(x)是周期为4的周期函数， 对于f(1＋x)＝f(1－x)，令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0；令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50) ＝12(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(1)＋f(2)＝2. 方法二：因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，① 又因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(－x)＝f(2＋x)，② 由①②得f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)， 所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的周期函数， 对于f(1＋x)＝f(1－x)，令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0；令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2. 【答案】　C 【感悟进阶】　对于双对称问题，一般会涉及周期，对称与周期有关的一般结论如下： (1)若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则T＝2|a－b|(a≠b). (2)若f(x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则T＝2|a－b|(a≠b). (3)若f(x)的图象关于直线x＝a，点(b，0)对称，则T＝4|a－b|(a≠b). 　1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝1＋x，则f(8.6)＝________． 解析：由已知得f(x)的图象关于直线x＝0和x＝1对称，故f(x)的周期为2，所以f(8.6)＝f(0.6)＝f(－0.6)＝0.4. 答案：0.4 2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，当x∈(2，4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，若＝f(－1)，则实数m的值为________． 解析：由已知得f(x)的图象关于点(0，0)与(2，0)对称，所以f(x)是周期为2×|2－0|＝4的周期函数，当x∈(2，4)时， f(x)＝－log(x－1)＋m，则f(2 025)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝－m－1，所以＝m＋1，解得m＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $