第2章 第2讲 函数的单调性与最值(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第2讲　函数的单调性与最值

课标要求　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值．　2.理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．

提醒　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；(2)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”“或”连接，只能用“，”“和”连接．

2．函数的最值

常用结论　

1．函数单调性的两个等价结论

设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则

(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．

(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．

2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．

(3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．

(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝在定义域内单调递减．(　　)

(2)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　)

(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)

(4)所有的单调函数都有最值．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．f(x)＝－2x＋1    B．f(x)＝x2＋1

C．f(x)＝1－    D．f(x)＝|x|

解析：选BCD．对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，

故A错误；对于B，因为f(x)＝x2＋1图象的对称轴为y轴，且图象开口向上，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数f(x)＝|x|＝函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．

3．(必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

解析：因为函数f(x)在[0，2]上单调递减，

所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝.

答案：2　

4．函数f(x)＝的单调递增区间是________．　

解析：由题意可知x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，设y＝，u＝x2－2x，二次函数u＝x2－2x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)，所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞).

答案：[2，＋∞)

5．(用结论)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不等的实数a，b，总有＞0，则满足f(2x－3)＜f(1)的实数x的取值范围是________．

解析：由题意知，函数f(x)为增函数，因为f(2x－3)＜f(1)，所以2x－3＜1，解得x＜2，故实数x的取值范围是(－∞，2).

答案：(－∞，2)

考点一　函数的单调性

角度1　函数单调性的判断或证明

　已知函数f(x)＝经过(－1，－1)，(，)两点．