第2章 第2讲 函数的单调性与最值(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，覆盖定义、单调区间、最值判定及应用等高考要求，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（表格对比增减函数定义）、方法指导（定义法证明步骤、复合函数单调区间分析）、真题训练（新课标Ⅰ卷等例题）等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破难点。 资料突出数学思维与数学语言融合，如单调性证明中通过作差变形培养推理能力，复合函数单调区间分析结合图象法发展几何直观。设置分层练习（判断正误、多选、解答题），配合“感悟进阶”总结方法，确保高效复习，提升学生抽象能力与解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2讲　函数的单调性与最值 课标要求　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值．　2.理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 类别 增函数 减函数 定 义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间． 提醒　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；(2)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”“或”连接，只能用“，”“和”连接． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得 f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有 f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 常用结论　 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝在定义域内单调递减．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－ D．f(x)＝|x| 解析：选BCD．对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f(x)＝x2＋1图象的对称轴为y轴，且图象开口向上，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数f(x)＝|x|＝函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确． 3．(必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：因为函数f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝. 答案：2　 4．函数f(x)＝的单调递增区间是________．　 解析：由题意可知x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，设y＝，u＝x2－2x，二次函数u＝x2－2x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)，所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞). 答案：[2，＋∞) 5．(用结论)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不等的实数a，b，总有＞0，则满足f(2x－3)＜f(1)的实数x的取值范围是________． 解析：由题意知，函数f(x)为增函数，因为f(2x－3)＜f(1)，所以2x－3＜1，解得x＜2，故实数x的取值范围是(－∞，2). 答案：(－∞，2) 考点一　函数的单调性 角度1　函数单调性的判断或证明 　已知函数f(x)＝经过(－1，－1)，(，)两点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)利用单调性的定义证明：f(x)在(－1，1)上单调递增． 【解】　(1)将点(－1，－1)，(，)代入解析式得解得故f(x)＝. (2)证明：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝. 因为x1，x2∈(－1，1)，x1<x2， 所以x1x2－1<0，x2－x1>0， 故f(x1)－f(x2)<0， 故f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增． 【感悟进阶】　利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 角度2　求函数的单调区间 　函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A． B． C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) 【解析】　g(x)＝x|x－1|＋1＝ 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为[，1]. 【答案】　B 【感悟进阶】　确定函数的单调区间的方法 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解． (2)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写． (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间． 　1.已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) 解析：选C．由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a＜0，所以函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，因此g(x)的单调递增区间为(－∞，2). 2．已知定义在R＋上的函数F(x)满足条件：①对定义域上任意x，y，都有F(x)＋F(y)＝F(xy)；②当x>1时，F(x)>0.求证： (1)F＝－F(x)； (2)F(x)在R＋上单调递增． 证明：(1)令x＝y＝1得F(1)＝0， 令y＝，则F＋F(x)＝F(1)＝0， 即F＝－F(x). (2)设0<x1<x2，则>1，故F>0， 因为F(x2)－F(x1)＝F(x2)＋F＝F>0，所以F(x2)>F(x1)， 即F(x)在R＋上单调递增． 考点二　函数单调性的应用 角度1　比较函数值的大小 　已知函数f(x)对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)，并且对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，则下列不等式正确的是(　　) A．f(1.2)＞f(1.5) B．f(1.5)＞f(3) C．f(1.5)＜f(3) D．f(3)＜f(4) 【解析】　因为对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，故f(1.2)＜f(1.5)，A错误；对于f(2－x)＝f(2＋x)，分别令x＝1，2，可得f(1)＝f(3)，f(0)＝f(4)，又f(1.5)＞f(1)，所以f(1.5)＞f(3)，B正确，C错误；又f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(4)，D错误． 【答案】　B 【感悟进阶】　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较． 角度2　解不等式 　已知函数f(x)＝－，则不等式f(x＋1)>f(2x)的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．[－，0] D．[－，1) 【解析】　函数f(x)＝－，所以解得－1≤x≤1， 因为y＝在[－1，1]上单调递增， y＝－在[－1，1]上单调递增， 所以f(x)＝－在[－1，1]上单调递增，由不等式f(x＋1)>f(2x)得解得－≤x≤0，故选C． 【答案】　C 【感悟进阶】　利用单调性解不等式的注意点 (1)准确判断函数的单调性． (2)勿忘定义域对变量的限制． (3)不等式的一边没有“f ”而是常数时应将其化为函数f(x0)的形式． (4)注意利用函数性质(奇偶性、对称性、周期性)对函数值进行转化． 角度3　求参数 　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 【解析】　因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0； 当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)为增函数． 若函数f(x)在R上单调递增， 则－a≤f(0)＝1，即a≥－1. 综上，实数a的取值范围是[－1，0]. 【答案】　B 【感悟进阶】　利用函数的单调性求参数的思路 (1)根据函数单调性直接构建参数满足的方程式(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降趋势，再结合图象求解； (2)对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 　1.定义在N上的函数f(x)＝x2－2kx是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．k< B．k<1 C．k< D．k<0 解析：选A．二次函数f(x)＝x2－2kx图象的对称轴为直线x＝k，考虑到其定义域为N，故k<. 2．(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)＝则使不等式f(x)>f(x2)成立的x的取值范围是________． 解析：若x≥0，x2≥0，因为当x≥0时，f(x)＝－2单调递增，所以f(x)>f(x2)⇔x>x2，解得0<x<1；若x<0，x2>0，则f(x2)＝－2＝|x|－2＝－x－2，由f(x)>f(x2)可得－x2>－x－2，即x2－x－2<0，解得－1<x<2，又因为x<0，所以－1<x<0.故使不等式f(x)>f(x2)成立的x的取值范围是(－1，0)∪(0，1). 答案：(－1，0)∪(0，1) 考点三　函数的值域(最值) 　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 【解析】　对于A，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)，A正确； 对于B，y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，B错误； 对于C，设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为[，＋∞)，C正确； 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，因为y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，所以y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)，D正确． 【答案】　ACD 【感悟进阶】　求函数值域(最值)的几种常用方法 (1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (3)换元法：对较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； (4)分离参数法：分子分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式的和的形式． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 　1.函数f(x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　) A． B．[0，1] C． D． 解析：选C．由y＝x在[1，4]上单调递增，且y＝在[1，4]上单调递减，可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝，故值域为[0，]. 2．(2026·济宁质量检测)已知函数f(x)＝ 的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(，) C． D． 解析：选C．当x≥1时，易知y＝ex-1＋ln x单调递增，所以当x≥1时，y＝ex-1＋ln x≥e1-1＋ln 1＝1，即y＝ex-1＋ln x在[1，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，所以当x<1时，y＝(2a－1)x2＋5a的值域包含(－∞，1)，则y＝(2a－1)x2＋5a的图象开口向下，又对称轴为直线x＝0，所以解得≤a＜，所以实数a的取值范围为[，). 学科网（北京）股份有限公司 $