2 第二章 函 数(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数核心素养，以近三年高考真题为载体，系统整合指数对数运算、函数性质及综合应用，提炼特值法、复合函数法等实用解题技巧，培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质综合|6题|复合函数单调性判断、奇偶性定义应用、周期性推导|从定义出发，构建“性质判断-应用拓展”逻辑链，结合导数深化理解| |指数对数运算|2题|对数换底公式、指数幂运算技巧|以指数对数互化为主线，关联方程思想解决求值问题| |函数图象识别|2题|特殊点验证、奇偶性排除法|通过形数结合，建立“解析式特征-图象性质”对应关系| |抽象函数|2题|赋值法、函数方程转化|从抽象关系式入手，推导函数性质，体现数学语言精确表达|

第二章　函　数 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：选C．由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a-3b＝4＝，故选C． 2．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x-1| 解析：选C．对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误； 对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 对于D，因为f()＝3＝3＝，f(1)＝3|1-1|＝30＝1，f(2)＝3|2-1|＝3，显然f(x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D错误．故选C． 3．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) 解析：选B．由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋(e－)sin 1>－1＋(e－)sin ＝－1＋－>0，排除D．故选B． 4．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 解析：选D．由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.故选D． 5．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 解析：选D．通解(复合函数法)：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以≥1，解得a≥2.故选D． 光速解(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－)2－在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D． 6．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选A．对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x>0时，y＝≤＝cos x≤1，与图象在y轴右侧最高点大于1不符，所以排除C．故选A． 7．(2024·天津卷)设a＝4.2-0.2，b＝4.20.2，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 解析：选D．由函数y＝4.2x在R上单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故c<a<b，故选D． 8．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 解析：选B．通解：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B． 优解：因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)·ln 3，解得a＝0，故选B． 9．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解析：选D．由题意知当x∈(－1，1)时，f(x)＝g(x)有唯一解，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x－a(x2＋1)＋1＝0有唯一解．令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1，则h(x)在(－1，1)上有唯一零点，易知h(x)为偶函数，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D． 10．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析：选A．因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)　①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②.由①＋②得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A． 11．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 解析：选B．因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987；….显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000.故选B． 12．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)·ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D．1 解析：选C．由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln (x＋b)单调递增，可得x＋a与ln (x＋b)同正、同负或同为零，所以当ln (x＋b)＝0时，x＋a＝0，即所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2(a＋)2＋≥，当a＝－，b＝时等号成立．故选C． 13．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 解析：选ABC．取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；不妨取f(x)＝0，此时f(x)符合题设，但f(x)无极值，故D不正确．综上，选ABC． 14．(多选)(2022·新高考卷Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 解析：选BC．通解(转化法)：因为f(－2x)为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(－2×)＝f(＋2×)，即f(－1)＝f(4)，所以C正确；因为g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，因为g(x)＝f′(x)，所以函数g(x)的图象关于点(，0)对称，所以g(x)的周期T＝4×(2－)＝2，因为f(－1)＝f(4)，所以f′(－1)＝－f′(4)，即g(－1)＝－g(4)＝－g(2)，所以D不正确；因为f(－2)＝f(＋2)，即f(－)＝f()，所以f′(－)＝－f′()，所以g(－)＝－g()＝－g(2×2－)＝－g(－)，所以g(－)＝0，所以B正确；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，所以选项A不正确．综上，选BC． 光速解(特例法)：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx，所以g(－1)＝πcos (－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D．故选BC． 15．(2024·上海卷)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝则f(3)＝______． 解析：因为f(x)＝故f(3)＝. 答案： 16．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 答案：64 17．(2005·天津卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝__________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称， 则对任意的x∈R，f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(x)，则f(x)＝－f(x－1)， 所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 所以函数f(x)是周期为2的周期函数， 且f(1)＝f(0)＝0， 因此，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝3f(1)＋2f(0)＝0. 答案：0 18．(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3. (1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 解：(1)f(x)的定义域为(0，2)， 若b＝0，则f(x)＝ln ＋ax，f′(x)＝·＋a＝＋a， 当x∈(0，2)时，x(2－x)∈(0，1]，f′(x)min＝2＋a≥0，则a≥－2，故a的最小值为－2. (2)证明：f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． 学科网（北京）股份有限公司 $