拓展20 常见分布的辨析(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦概率统计核心考点，系统梳理二项分布、超几何分布、正态分布的特征及辨析要点，通过考点梳理、方法指导、典例精讲、真题训练的教学流程，帮助学生构建分布识别与应用的知识体系，突破实际问题中分布类型判断的难点。 讲义以对比辨析和情境化教学为特色，如通过抓球试验辨析超几何与二项分布，培养学生用数学眼光观察随机现象的能力，结合正态分布近似计算训练数学思维与表达。设置分层练习巩固基础与提升能力，确保复习高效，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　常见分布的辨析 二项分布、超几何分布与正态分布的相关概念大家应该已经非常熟悉了，在实际问题中，往往需要我们自行判断随机变量符合何种分布，有时候也会多个分布同时出现，因此如何准确识别并正确使用分布对解决问题至关重要． 1．常见分布的特征 (1)二项分布：在进行多次重复试验，且单次试验中事件发生概率已知时使用． (2)超几何分布：从含有两类元素的总体中随机抽取n个元素，探讨两类元素中的一类被抽取 不放回抽取 到的个数时使用．例如已知男同学有10名，女同学有10名，从中抽取6名同学，探讨这6名同学中男同学人数的情况． (3)正态分布：当样本特别多或趋向于无穷时，应首先考虑用正态分布的相关知识解题．题目中通常会出现“正态分布”这四个字． 2．二项分布和超几何分布辨析 在n次试验中，事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布． (1)当n次试验是n重伯努利试验时，X服从二项分布； (2)当n次试验是不放回抽取个体(两类不同的)，X服从超几何分布； (3)在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化为二项分布． 【典例】 二项分布、超几何分布与正态分布是概率统计中三个非常重要的分布，且经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布B(n，p)，当np＞5且np(1－p)＞5时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即P(X≤x)≈P(Y≤x)，其中随机变量Y～N(np，np(1－p)). 已知在一个不透明盒子中有除颜色不同外其余都相同的3个红球与2个蓝球，现一次性从中抓取2个球． (1)只抓取一次，抓出几个红球的可能性最大？ (2)若抓出的2个球为1红1蓝，则为中奖，且每次抓取的结果相互独立． ①若抓取3次，求中奖2次的概率； ②在600次的抓取中，记中奖的次数为η，计算P(336≤η≤384). (参考数据：η～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)≈0.997 3) [思路点拨]　(1)由于是从3个红球与2个蓝球中抓取2个球，因此符合超几何分布． (2)由于是求抓取3次，中奖2次的概率，因此中奖次数符合二项分布． 【解】　(1)设抓取一次抓出红球的个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以只抓取一次，抓出1个红球的可能性最大． (2)①由(1)得只抓取一次，中奖的概率p＝，所以抓取3次，中奖2次的概率为C()2×(1－)＝. ②因为600×＝360＞5，且600××＝144＞5，即满足np＞5且np(1－p)＞5，因此中奖的次数η近似服从正态分布N(360，144)，所以μ＝360，σ＝12，所以P(336≤η≤384)＝P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.954 5. (1)随机变量X的含义确定了X的分布类型，辨析超几何分布和二项分布的标志是每次试验是否相同，是否符合伯努利试验． (2)超几何分布与二项分布的均值表达式相同． 1．(多选)在等差数列{an}中，a2＝－8，a3＝－4.现从数列{an}的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X.则下列结论正确的是(　　) A．X服从二项分布　　 B．X服从超几何分布 C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝ 解析：选BD.依题意，等差数列{an}的公差d＝a3－a2＝－4－(－8)＝4，则通项公式为an＝a2＋(n－2)·d＝－8＋(n－2)×4＝4n－16，由an>0得n>4，即等差数列{an}前10项中有6个正数，X的可能取值为0，1，2，3，X＝k(k∈N，k≤3)的事件表示取出的3个数中有k个正数，(3－k)个非正数，因此，P(X＝k)＝(k∈N，k≤3)，X不服从二项分布，X服从超几何分布，A错误，B正确； P(X＝2)＝＝，C错误； 由题E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D正确． 2．(2026·福州模拟)某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径(单位： 厘米)进行了统计如下： 零件直径 [1.0，1.2) [1.2，1.4) [1.4，1.6) [1.6，1.8) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径ξ服从正态分布N(1.5，0.2282)，据此估计这批零件直径在区间[1.044，1.728]的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间[1.2，1.4)内的零件个数为X，求X的分布列和数学期望． 参考数据： 若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)因为零件的直径ξ服从正态分布N(1.5，0.2282)，所以μ＝1.5，σ＝0.228， 则1.044＝μ－2σ，1.728＝μ＋σ， 即P(1.044≤ξ≤1.728)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋σ)≈＝0.818 6. (2)由题意，随机抽取一个零件，直径在区间[1.2，1.4)的概率为＝， 由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 故P(X＝0)＝C()4＝， P(X＝1)＝C××()3＝， P(X＝2)＝C×()2×()2＝， P(X＝3)＝C×()3×＝， P(X＝4)＝C×()4＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 因为X～B(4，)，所以X的数学期望为E(X)＝4×＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $