拓展19 分组分配问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦分组分配问题核心考点，涵盖无主体分组、有主体等分配及不等分配三种基本模型，按“模型解析—方法步骤—典例应用”逻辑架构知识点。通过考点梳理明确分组步骤与除序原则，方法指导强化分步计数原理应用，真题训练结合典例与分层练习，帮助学生系统突破分组分配难点。 资料以“问题情境—数学抽象—逻辑推理”为主线，创新采用典例分类解析策略，如志愿者服务分配问题中，通过讨论司机岗位安排培养学生数学思维与模型意识。设置基础分组、综合分配等分层练习，配合即时方法总结，助力学生在有限时间内掌握分组除序关键，提升解题规范性，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

　分组分配问题 将不同元素分组，分组后根据需要分配的问题我们称为分组分配问题． 1．分组分配问题的基本模型 (1)无主体分组：如将4本不同的书分成两堆，每堆2本或将4本不同的书分成两堆，一堆3本、一堆1本． 只是进行分组，不分配 (2)有主体等分配：如将4本不同的书分给甲、乙两人，每人2本． 分组后分配，存在元素数量相同的组 (3)有主体不等分配：如将4本不同的书分给甲、乙两人，一人3本、一人1本． 分组后分配，每组元素数量不同 2．无主体分组问题的一般方法 对于将n个不同的元素进行无主体分组的问题，按照下列步骤处理： 第一步：将n个不同的元素分成有顺序的若干堆； 第二步：将有顺序的物品堆转换为无顺序的物品堆； 第三步：根据分步乘法计数原理，计算出不同分法的种数． [注意]　有顺序与无顺序之间的转换： (1)将原本没有顺序的n个元素，变成一个有顺序的n个元素，需要乘A； (2)反之将原本有顺序的n个元素，变成一个没有顺序的n个元素，需要除以A. 3．有主体分配问题的一般方法 对于将n个不同的元素进行有主体分配的问题，按照下列步骤处理： 第一步：将n个不同的元素分成有顺序的若干堆； 第二步：排列获得元素的主体的顺序； 第三步：根据分步乘法计数原理，计算出不同分法的种数． [注意]　如何获得元素主体间的顺序： (1)若主体间获得元素个数不同，则主体之间有差异，因此主体之间是有顺序的； (2)若主体间获得元素个数相同，则主体之间没有差异，因此主体之间是没有顺序的． 【典例】 (多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2026年足球世界杯志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA　 D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A 【解析】　对于A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工作有4种选法，所以不同的方法数为4×4×4×4×4＝45，故A正确；对于B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人，先将5人分成4个组有C种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有A种方法，由分步乘法计数原理有CA＝240种方法，故B错误；对于C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作，若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有CCA种方案，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有CA种方案，故不同安排方案的种数是CCA＋CA，故C正确；对于D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，把5名同学按3，1，1分组安排有·A种安排方法，把5名同学按2，2，1分组安排有·A种安排方法，故这5名同学全部被安排的不同方法数为(＋)A，故D错误． 【答案】　AC (1)分组分配问题可以先分组，再分配． (2)平均分组和部分平均分组一定要先选元素，再除序． 1．某户外探险俱乐部组织10名成员(7名男生，3名女生)前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组(不区分两组的顺序)，要求每组至少4人，且3名女生不能在同一组，则不同的分组方法共有(　　) A．105种 B．168种 C．210种 D．273种 解析：选D.将10人平均分成两个组有＝126种方法，其中3名女生在同一组的分法有CC＝21种，故将10人平均分成两个组，3名女生不在同一组的分法有126－21＝105种；将10人按一组4人，一组6人分成两个组有CC＝210种分法，其中3名女生在4人组中的分法有CC＝7种，其中3名女生在6人组中的分法有CC＝35种，故将10人按一组4人，一组6人分成两个组，3名女生不在同一组的分法有210－7－35＝168种，综上所述：将这10人分成两组(不区分两组的顺序)，要求每组至少4人，且3名女生不能在同一组，则不同的分组方法共有168＋105＝273种． 2．(2026·广州模拟)某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室的情况有________种(用数字作答). 解析：6名学生随机分配到3个不同的办公室，有2，2，2和3，2，1两种情况， 当按照2，2，2分配时，甲、乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室，先选一个办公室给甲乙两人，有C种方法，将剩余的4人平均分配到两个办公室，有A种方法，此时，共有CA＝18种情况； 当按照3，2，1分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有C种方法，将剩余的4人按照1，3分配到两个办公室，有CCA种方法，此时，共有CCCA＝24种情况． 综上，共有18＋24＝42种情况． 答案：42 学科网（北京）股份有限公司 $