拓展16 直线的方向向量与参数方程(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦直线方向向量与参数方程核心考点，以方向向量定义为起点，推导参数方程并关联点斜式、一般式，构建直线位置关系判定体系。通过考点梳理、方法推导、典例精讲和分层练习，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破高考高频难点。 资料突出向量工具与方程思想融合，如通过向量共线推导参数方程培养数学思维，结合圆的切线问题强化几何直观。设置基础巩固与能力提升练习，配合真题解析，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　直线的方向向量与参数方程 人教A版选择性必修第一册P68探究与发现： 直线的方程除了点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定． 如图，设直线l过点P0(x0，y0)，且一个方向向量为v＝(m，n).P(x，y)是直线l上任意一点，则与v共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使＝tv，即(x－x0，y－y0)＝t(m，n)，所以①这就是直线的参数方程． ①式消去t可得y－y0＝(x－x0)，即为直线过点P0(x0，y0)，斜率k＝的点斜式方程，从而l的方向向量v＝(m，n)＝m＝m(1，k).所以，我们经常称直线的方向向量为(1，k). ①式消去t也可得nx－my－nx0＋my0＝0，即为直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0. 因此我们得直线l：Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为(－B，A). 从而若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0； (2)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0). 证明：易知，l1与l2的一个方向向量分别为 v1＝(－B1，A1)，v2＝(－B2，A2). (1)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔(－B1)(－B2)＋A1A2＝0⇔A1A2＋B1B2＝0. (2)l1∥l2⇔v1∥v2⇔－B1A2－(－B2)A1＝0⇔A1B2－A2B1＝0. 当A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)时，A1∶B1∶C1＝A2∶B2∶C2，两直线重合． 所以l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0). 【典例】 (1)(2026·杭州模拟)与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为(1，)的直线的方程为___________________． (2)直线(t是参数)上与点P(2，－)距离等于4的点Q的坐标为_______________________． 【解析】　(1)因为直线的方向向量为(1，)，所以直线的斜率为，故可设直线方程为y＝x＋b，又因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，且圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，圆心到直线y＝x＋b的距离为＝， 所以＝1，解得b＝2或b＝－2，所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为(1，)的直线方程为y＝x＋2或y＝x－2. (2)由直线的参数方程(t是参数)， 可设点Q(2＋t，－＋t)， 因为P(2，－)且|PQ|＝4， 所以(t)2＋(t)2＝16，解得t＝±4， 所以点Q的坐标为(4，)或(0，－3). 【答案】　(1)y＝x＋2或y＝x－2 (2)(4，)或(0，－3) 1．过直线x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　) A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0 C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 解析：选C.由得所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0. 2．若直线(t为参数)与直线kx＋y＋1＝0平行，则实数k＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选D.将直线(t为参数)消去参数t，并化简得x＋y－5＝0，由题意得k＝. 学科网（北京）股份有限公司 $