第3章 函数的概念与性质（单元解读讲义）高一数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质（单元解读） 01课程标准 1. 函数概念与性质 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 内容包括：函数概念、函数性质、※函数的形成与发展（标有※的内容均为选学内容，不作为考试要求）。 （1）函数概念 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用。 ③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （2）函数性质 ①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义。 ②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 ③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。 （3）※函数的形成与发展 收集、阅读函数的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。 2. 幂函数 通过具体实例，结合 ，，，， 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 4. 函数应用-函数与数学模型 ①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 ②收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。 【学业要求】 能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度，理解函数的意义与数学表达；理解函数符号表达与抽象定义之间的关联，知道函数抽象概念的意义。 能够理解函数的单调性、最大（小）值，了解函数的奇偶性、周期性；理解一些基本函数类（如一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数等）的背景、概念和性质；能从整体的角度探索具体函数模型和一般函数的性质和应用。 能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题；能够从函数观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解；能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式。具有用函数分析事物的意识。 重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。 02单元内容分析 1. 教材地位与教学范围 本章是人教A版高中数学必修第一册第三章。在初中具体函数经验、第一章集合语言和第二章不等式方法的基础上，把函数由“变量之间的依赖关系”提升为“实数集合之间的对应关系”，再用图象与代数运算研究性质。幂函数是运用一般研究方法认识具体函数类的载体，函数应用则把概念与性质落实到建模，为后续指数函数、对数函数和三角函数的学习奠基。 课程标准按主题统整呈现，本章重点落实函数概念、表示法、单调性、最值、奇偶性、五种常见幂函数及简单建模。周期性、指数与对数增长比较、二分法等在后续章节落实，不列入本章达标考核；函数史可作选学阅读。 2. 知识结构与课时安排 本章分为四节，主线为“概念与表示—基本性质—幂函数—函数应用”。建议安排8课时：3.1.1函数的概念1课时，3.1.2安排1课时，3.2.1与3.2.2各安排2课时，3.3、3.4各安排1课时。每课时45分钟，课件中的其余即时训练可用作分层作业。 （1）概念与表示：把现实对应关系抽象为函数，辨析定义域、对应关系和值域；以区间表达范围，在解析式、图象、表格之间转换，认识分段函数。 （2）基本性质：从图象变化和对称性出发，用任意性与等式、不等式准确表达单调性、最值和奇偶性，再用定义论证。 （3）幂函数：以 、、、、 为例，形成“定义域—图象—性质”的研究路径，比较共性与差异。 （4）函数应用：从收费、里程、利润、刹车距离等课件情境中确定变量与约束，建立一次、二次、分段或幂函数模型，求解并检验实际意义。 3. 内容联系与教学取舍 定义域贯穿全章：它决定函数是否相同，限定单调区间，制约最值是否取到，也是奇偶性和模型合理性的前提。教学以概念理解和简单函数为主，课件中的抽象函数、含参数题用于巩固条件意识，不把复杂技巧训练替代单元主线。 03学情分析 1. 已有基础 学生已学习一次函数、反比例函数与二次函数，能根据解析式求值并描点作图；已具备集合表示、不等式求解和配方等基础。可从熟悉模型进入新概念，但需诊断学生是否把“函数”误等同于“一个解析式”。 2. 主要困难 学生易把有限个点的观察当成对任意自变量都成立的证明；比较函数时忽略定义域；化简解析式时丢失原有限制；画离散图象时随意连线；求最值时把不能取到的界当成最值；判断奇偶性时只验等式、不查定义域。抽象函数的输入层次和分段端点归属也需反复辨析。 3. 教学应对 先用列车运行、工资、气温、出租车等情境激活经验，再通过“同式不同域”“有限验证与任意成立”“有界与取到”等对比暴露认知冲突。课堂要求学生同时说出图象依据、符号条件和结论，让抽象表达建立在可解释的经验之上。 04单元学习目标 1. 数学抽象 能从课件情境中指出输入集合、输出及对应关系，用集合语言解释“任意且唯一”；能说明定义域、对应关系和值域的联系，区分同一函数与仅解析式相似的函数。 2. 逻辑推理 能准确写出单调性、最值和奇偶性的条件，用定义证明简单函数的单调性；判断奇偶性时先检验定义域的对称性，并能说明有限个函数值为何不足以证明性质。 3. 数学运算 能求简单函数的定义域和函数值，处理课件中的输入替换与分段求值；能借助单调性、配方求给定区间上的最值，利用奇偶性补求解析式、比较函数值或解简单不等式。 4. 直观想象 能在解析式、列表与图象之间转换，正确处理离散点、端点虚实和图象对称；能比较五种常见幂函数的定义域、值域、单调性和奇偶性，并用图象解释结论。 5. 数学建模 能在课件应用题中界定变量与单位，依据条件建立函数模型，写出符合情境的定义域；能解释分段点、参数和最值的实际含义，检验计算结果而不只给出数值。 05教学重难点 1. 教学重点 函数的集合与对应定义及三要素；函数的三种表示法与分段函数；单调性、最值、奇偶性的符号表达与图象意义；五种常见幂函数的比较；依据实际约束建立并解释函数模型。 2. 教学难点及突破 从“变量说”转向“对应说”，用列车与工资的同式不同域对比突破；从图象直观转向任意性论证，用作差定号和反例辨析突破；最值是否取到与奇偶性的定义域条件，用开闭端点、非对称定义域对比突破；分段建模则用逐段列条件、检查衔接和还原实际单位突破。 06教学方法 1. 教法 采用情境设问、图象观察、符号归纳、例题论证和易错辨析相结合的方法。新概念均安排“实例有什么共同点—怎样准确表达—哪些条件不可删”的追问；性质学习把图象发现与代数证明配对；应用教学让学生先表达变量与约束，再讨论模型及求解。 2. 学法 学生通过列表、描点、比较和小组交流提出猜想，再以定义检验；板演时写全定义域与任意性条件，互评时检查结论的适用区间。课后按“概念条件—典型方法—错误原因”整理学习记录，用课件同类题检验修正是否有效。 07教学资源 1. 教材与课程依据 人教A版高中数学必修第一册第三章；《高中数学课程要求》中主题二“函数”的相应内容与学业要求。 2. 配套课件 使用素材目录中的8份课件：3.1.1函数的概念，3.1.2函数的表示法，3.2.1函数的单调性与最大（小）值第一、第二课时，3.2.2奇偶性第一、第二课时，3.3幂函数，3.4函数的应用（一）。3.1.1按内容拆分为2课时，其余沿用课件课时顺序。 3. 课堂辅助材料 准备坐标网格纸、区间与数轴对应练习、五种幂函数性质比较记录单及课件例题任务单。保留课件原图和原表供课堂观察；按基础概念、方法巩固、综合应用分层选用即时训练。 08教学过程 第1节 函数的概念及其表示（2课时） 第1课时：探究一 函数的概念 1. 课程导入（5分钟） 以课件中的情境引入——客观世界中有各种各样的运动变化现象，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化，怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？这样的模型具有怎样的特征？接着完成两个回顾：我们已经学习过哪些函数模型？初中函数是怎样定义的（并介绍德国数学家狄利克雷），让学生体会已有认知的不足，引出对函数概念的再认识。 2. 新知讲授（20分钟） 由 、 与 （ 取1至6的整数）对比输入范围；结合空气质量指数图、恩格尔系数表，抽象函数定义：设 、 为非空实数集，依对应关系 ，对每个 ，在 中都有唯一确定的 与之对应。说明定义域是 ，值域是全部 （）组成的集合，是 的子集，不一定等于 ；定义域与对应关系确定函数。辨析“一对多”不允许、“多对一”可以。 3. 课堂互动（15分钟） 依课件给定图形与对应关系判断能否构成函数，要求先找输入范围，再检查每个输入是否有且仅有一个输出。完成由解析式构造现实情境的例题：以周长20的长方形为背景，设一边长为 ，面积为 ，得到 、、。追问为何不能直接取全部实数作定义域。 4. 课堂小结（5分钟） 学生用自己的话解释“任意且唯一”，指出函数的三要素及其联系。回到列车与工资例说明：式子形式相似不等于同一函数。提醒 是函数值的记号，不是 与 的乘积。 第1课时：探究二 区间的概念与函数的定义域 1. 课程导入（5分钟） 接续3.1.1课件，回顾列车时间范围和长方形边长范围，用数轴表示，再提出怎样简洁记录连续的实数范围，引入区间记号。 2. 新知讲授（20分钟） 对照数轴学习 、、、，其中 ；说明 表示实数集 ，无穷端只能用圆括号。归纳定义域条件：分母不为零、偶次根式被开方数非负、各部分条件同时满足，并考虑现实约束。利用课件例题 ，得到定义域 ，且 。强调先保留原式限制，再化简。 3. 课堂互动（15分钟） 完成课件区间表示、同一函数辨析与定义域训练。对 ，联立 、，得 。已知 的定义域为 ，由 得 的定义域为 。将该方法归纳为：求 的定义域，先保证 有意义，再要求其值落在 的定义域内，不能把内层取值范围误作所求自变量范围。 4. 课堂小结（5分钟） 用课件 与 的比较，说明定义域不同则不是同一函数；用 与 的比较，说明对应关系也必须一致。归纳“先定义域、后对应关系”的判定顺序。 第2课时 函数的表示法与分段函数 1. 课程导入（5分钟） 展示3.1.2课件中的高铁路程关系、人口出生率曲线、污染物浓度与距离表，辨认解析法、图象法、列表法，讨论不同表示法分别便于读出什么信息。 2. 新知讲授（20分钟） 围绕每本5元、购买1至5本笔记本的例题，用三种方法表示总价关系，强调定义域为离散取值时图象只画5个点，不能连成线。结合 与 ，按绝对值内式的符号划分区间、写出各段解析式并画图。说明分段函数是一个函数，定义域是各段范围的并集，端点归属必须明确。 3. 课堂互动（15分钟） 选做课件出租车计费例：3公里以内9元，超过部分每公里2.4元，在题设连续计费模型下建立分段关系；检查分界点两侧是否合理衔接。再用 、 中取较大值的例题，先比较两式，得 或 时取后者， 时取前者，用图象核验。三名学生六次成绩表的分析可作课后任务。 4. 课堂小结（5分钟） 比较三种表示法：解析法便于计算与推导，表格便于查对应数值，图象便于观察整体变化。强调表示函数要交代定义域，画图要区分离散与连续，分段点不能漏取，也不能出现不同输出。 第2节 函数的基本性质（4课时） 第1课时 函数的单调性 1. 课程导入（5分钟） 使用3.2.1第一课时课件中的疫情、股票变化图，观察图象从左到右何时上升、何时下降，提出“怎样不依赖图象，用符号准确表达增减”。 2. 新知讲授（20分钟） 从列表比较有限个函数值过渡到任意两个输入：设区间 包含于定义域，对任意 ，当 时，总有 ，则在 上单调递增；反向不等式刻画递减。强调任意性、同一区间及严格不等号。以 为例，按“取值—作差—变形—定号—结论”证明： 时递增， 时递减， 时为常数函数。 3. 课堂互动（15分钟） 依据课件图象写单调区间，再讨论 ：在 与 上分别递减，不能据此称其在整个定义域上递减，可取 作反例。用玻意耳定律 、，对任意 作差，证明体积增大时压强减小，要求说明分母及差式的符号。 4. 课堂小结（5分钟） 学生分别用自然语言、图象语言、符号语言解释单调性，复述定义法证明步骤。强调少数点的大小比较不能代替证明，不同单调区间应分别写出。 第2课时 函数的最大（小）值 1. 课程导入（5分钟） 展示3.2.1第二课时课件的沙漠气温曲线，指出最高、最低气温及其出现时刻，区分最大函数值与取得该值时的自变量。 2. 新知讲授（20分钟） 设定义域为 。最大值 要同时满足：对任意 有 ，且存在 使 ；最小值同理。用课件烟花模型 配方，得 ，解释发射后1.5秒达到最高约29米。再比较 在不同区间上的最值，落实“先定义域、再看顶点与端点”。 3. 课堂互动（15分钟） 完成课件区间最值对比： 在 上最小值为 、最大值为 ；在 上最小值为 、最大值为 ；在 上最小值为 、最大值为 。用 在 上的单调性求得最小值 、最大值 ；对 、，说明既无最大值，也无最小值，不能把未取到的下界当作最小值。 4. 课堂小结（5分钟） 总结最值定义中的“对任意成立”与“存在且取到”。二次函数在闭区间上应比较顶点位置与端点函数值；若端点不属于定义域，必须另外检查相应界能否取到，不能直接套用闭区间结论。课件含参数最值与利润模型留作分层巩固。 第3课时 函数的奇偶性 1. 课程导入（5分钟） 使用3.2.2第一课时课件的对称图形及 、 图象，比较相反数处的函数值，提出图象对称性与等式之间的联系。 2. 新知讲授（20分钟） 在定义域关于原点对称的前提下，对任意定义域内的 ，若 则为偶函数，图象关于 轴对称；若 则为奇函数，图象关于原点对称。讨论课件反例：、 不是偶函数；仅有 不能推出偶性。若奇函数在 处有定义，则由 得 。 3. 课堂互动（15分钟） 完成课件 、、、 的奇偶性判断，先查定义域，再验证关系式，结论依次为偶、奇、奇、偶。对 ，用奇性补全另一半图象。讨论零函数在关于原点对称的非空定义域上既奇又偶，说明“定义域对称”只是具有奇偶性的必要条件，不是充分条件。 4. 课堂小结（5分钟） 归纳“查定义域—验相反数—下结论”，区分奇、偶、既奇又偶、非奇非偶。提醒定义中的等式必须对任意输入成立，不能以图象局部或少数点的验证代替整体判断。 第4课时 奇偶性的应用与单调性综合 1. 课程导入（5分钟） 沿3.2.2第二课时课件复习奇偶性与图象对称，设问：若只知道函数半边的解析式或单调性，能否确定另一半？用问题串连接求解析式、求参数和解不等式。 2. 新知讲授（20分钟） 讲解课件奇函数例：定义域为 ， 时 。当 ，先令 ，得 ，再用奇性得 ；另有 。由课件局部图象归纳：奇函数在原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数相反。含参数判断要同时检验定义域对称与奇偶关系。 3. 课堂互动（15分钟） 选用课件偶函数综合题： 定义在 ，在 上递减，求 中 的范围。先列 ，利用偶性转为 ，由递减性得 ，合并条件得 。再用 为偶函数的课件题，比较一次项系数，得 ，代回验证。 4. 课堂小结（5分钟） 归纳“把输入转到已知区间—使用奇偶关系—依据单调性比较—合并定义域限制”。求未知解析式时按所求区间设变量，不能直接把正半轴公式照搬到负半轴；去掉函数符号前必须说明单调区间和方向。 第3节 幂函数（1课时） 1. 课程导入（5分钟） 使用3.3课件中单价为1的购物金额、正方形面积、正方体体积、由面积求边长、定路程求速度五个情境，列出函数关系，统一自变量与函数值记号，观察底数为变量、指数为常数的共同结构。 2. 新知讲授（20分钟） 给出幂函数 ，其中 为常数。比较 与 等课件选项，说明前者是幂函数，后者不是，判断前先化简。小组按“定义域—图象—值域—单调性—奇偶性”比较 、、、、。这五种图象均过 且不过第四象限；在正半轴上，正指数对应递增、负指数对应递减。不能由正半轴性质直接推断负半轴，也不能把五种函数都判为奇或偶。 3. 课堂互动（15分钟） 完成课件定义法证明 递增的例题：任取 ，将 有理化为 。用幂函数单调性比较 与 ，用中间量 比较 与 。选做课件 为幂函数且在正半轴递增的题，由系数为1及指数为正，得 、。 4. 课堂小结（5分钟） 检查五种函数性质记录：、 是奇函数， 是偶函数， 是奇函数， 非奇非偶。总结定义判断、同指数比较和借助中间量比较三种方法，强调研究性质首先明确实际定义域。 第4节 函数的应用（一）（1课时） 1. 课程导入（5分钟） 使用3.4课件出租车情境：2公里以内5元，超过部分每公里1.2元，按题设连续计费模型计算3公里费用为6.2元。追问如何把整个计费规则表示为一个函数，明确这是新的题设，不能套用上一节出租车例的参数。 2. 新知讲授（20分钟） 围绕课件两个主例展开：个人所得税问题以课件给定的扣除条件、税率和数据为准，区分收入与应纳税所得额，按档建立分段关系，不把课堂数据视为现行税务规则；汽车行程问题依据五个小时的平均速度50、80、90、75、65，逐段累加路程，在初始里程表读数2004的基础上确定读数函数，总路程为360公里、最终读数2364。归纳“分析变量与约束—建模—求解—解释检验”，强调分段点及每段初值的实际含义。 3. 课堂互动（15分钟） 选用课件两题落实建模：刹车距离 ，时速60公里时距离20米，得 ；距离50米时，时速 ，据题设判断未超速。商品销售题中 且 为整数，前24天价格为 ，第25天起价格80，日销量 ，销售额分别为 与 ，逐段比较得第25天销售额1200元最大。阶梯电费、风衣利润和管道流量题作为分层作业。 4. 课堂小结（5分钟） 学生说明一次、二次、分段和幂函数模型各自如何由条件产生。检查变量单位、连续或整数范围、分段端点和结果解释；特别提醒分段问题必须比较各段候选最值，不能只取某段抛物线的顶点。 09教学评价 1. 课堂表现评价 围绕三项可观察证据记录：能否指出定义域和对应关系；能否把图象判断转为带条件的符号表达；能否说明例题关键步骤的理由。对只给结论的回答，追问适用范围、任意性或反例，及时反馈而非仅按正误计次。 2. 作业评价 从课件即时训练中分层选题：基础层覆盖定义域、函数表示和性质判断；巩固层覆盖定义法证明、区间最值与半边解析式；提高层选综合不等式和分段建模。按“条件完整、方法合理、运算正确、解释清楚”批改；要求对漏域、漏端点、未检验取到等问题写出修正理由。 3. 单元达标评价 建议以课件典型任务组织达标检测：概念与定义域20分，函数表示与分段20分，单调性、最值及奇偶性35分，幂函数10分，应用建模15分。基本要求为能够独立完成简单函数任务，并在证明和建模题中保留必要条件；根据失分归因安排针对性再练，不将周期性或二分法纳入本章检测。 4. 学习过程评价 学生用知识结构图与五种幂函数性质记录单回顾本章，自评能否完成“实际情境到对应关系”“图象观察到符号论证”“数学结果到实际解释”的转换。同伴互评重点查证定义域、端点与论证依据，教师结合修订前后作业判断进步，安排补学或拓展。 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $