第10章 第7讲 超几何分布、二项分布与正态分布 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦概率统计核心题型，通过古典概型、二项分布、正态分布等问题链，构建从基础计算到实际应用的知识逻辑，培养数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概率计算|3题|古典概型与次品率计算|从具体情境抽象概率模型，强化分步计数原理应用| |随机变量分布|6题|二项/超几何分布的期望方差及分布列|对比离散型变量分布差异，构建公式推导与计算体系| |综合应用|3题|正态分布性质辨析与实际方案选择|结合对称性分析连续型变量，提升数据解释与决策能力|

1．一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.根据题意，恰有1个不合格品的概率为P＝＝. 2．(2026·常州模拟)抛掷一枚质地不均匀的硬币一次，正面向上的概率为p，设抛掷五次正面向上的次数为随机变量X，P(X＝1)＝P(X＝2)，则p＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意X～B(5，p)，P(X＝1)＝P(X＝2)，即Cp(1－p)4＝Cp2·(1－p)3，所以1－p＝2p，可得p＝. 3．(2026·广东六校联考)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＜0)＋P(X＜3)＝，则P(2＜X＜3)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 解析：选A.由题意得P(X＜0)＝P(X＞2)，所以P(X＜0)＋P(X＜3)＝P(X＞2)＋P(X≤2)＋P(2＜X＜3)＝1＋P(2＜X＜3)＝，所以P(2＜X＜3)＝＝0.1. 4．(多选)(2026·黑龙江开学考)某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时提高同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩X～N(70，σ2)，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为Y，则(　　) A．该知识竞赛的及格率为60% B．P(Y＝2)＝ C．E(Y)＝3 D．D(Y)＝0.8 解析：选BD.对于选项A，因为学生成绩X～N(70，σ2)，根据正态分布的对称性得，P(X≥80)＝P(X≤60)＝0.2，所以P(X≥60)＝1－P(X≤60)＝0.8，即该知识竞赛的及格率为80%，故A错误； 对于选项B，C，D，因为P(X≥60)＝0.8＝，由题意可得Y～B(5，)，所以P(Y＝2)＝C×()2×(1－)3＝，E(Y)＝5×＝4，D(Y)＝5××(1－)＝0.8. 故B，D正确，C错误． 5．(多选)(2026·南京、盐城调研)某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：g).若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则(　　) A．P(X＜600)＝ B．P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606) C．P(X＜595)＝P(X＞605) D．σ越小，P(X＜598)越大 解析：选AC. 作出正态曲线，由对称性可得，P(X＜600)＝，A正确； P(592＜X＜598)对应图中区域A的面积，P(602＜X＜606)对应图中区域B的面积，则P(592＜X＜598)＞P(602＜X＜606)，B错误；由正态曲线的对称性可得，P(X＜595)＝P(X＞605)，C正确；当μ取定值600时，σ越小，峰值越高，正态曲线越“瘦高”，表示随机变量X的分布越集中于直线x＝600，故P(X＜598)越小，D错误． 6．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为ξ.若P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为________． 解析：设这12件产品中的次品数为n， 则P(ξ＝1)＝＝，且≤40%，解得n＝3，故这12件产品的次品率为×100%＝25%. 答案：25% 7．设随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，且E(X)>1.若8名组员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则P(Y＝3)＝________． 解析：因为X～B(3，p)，D(X)＝，则3p(1－p)＝，解得p＝或p＝，又因为E(X)＝3p>1，所以p>，则p＝，所以＝5，即有5名男生．因为Y服从超几何分布，所以P(Y＝3)＝＝. 答案： 8．(13分)一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸Z(单位：mm)服从正态分布N(200，σ2)，且P(Z≤210)＝0.9. (1)求Z＜190的概率；(5分) (2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于190 mm的零件个数，求X的分布列与均值．(8分) 解：(1)因为零件尺寸Z服从正态分布N(200，σ2)，所以P(Z＞210)＝1－P(Z≤210)＝0.1. 因为＝200， 所以P(Z＜190)＝P(Z＞210)＝0.1. (2)依题意可得X～B(2，0.1)， 所以P(X＝0)＝(1－0.1)2＝0.81， P(X＝1)＝C×0.1×(1－0.1)＝0.18， P(X＝2)＝0.12＝0.01， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.81 0.18 0.01 所以E(X)＝0×0.81＋1×0.18＋2×0.01＝0.2(或E(X)＝2×0.1＝0.2). 9．(多选)若随机变量X～N(5，σ2)且P(X<m)＝P(X>n)，则下列选项正确的是(　　) A．E(2X＋1)＝7 B．m2＋n2的最小值为50 C．P(X≥3＋σ)>P(X≤3－σ) D．若P(X>4)＝0.68，则P(5≤X<6)＝0.32 解析：选BC.随机变量X～N(5，σ2)，E(X)＝5，对于A，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝11，A错误； 对于B，因为P(X<m)＝P(X>n)，所以＝5，所以m2＋n2≥(m＋n)2＝50，当且仅当m＝n＝5时，等号成立，B正确； 对于C，P(X≥3＋σ)>P(X≥5＋σ)，P(X≤3－σ)<P(X≤5－σ)＝P(X≥5＋σ)，故P(X≥3＋σ)>P(X≤3－σ)，C正确； 对于D，因为随机变量X～N(5，σ2)，所以正态曲线的对称轴为直线x＝5，由P(X>4)＝0.68得，P(4<X≤5)＝0.68－0.5＝0.18，所以P(5≤X<6)＝0.18，D错误． 10．(多选)(2026·珠海联考)一个袋子中有10个大小、质地均相同的球，其中有4个红球、6个黑球．试验一：从中随机有放回地摸出3个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E(X1)，D(X1).试验二：从中随机无放回地摸出3个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E(X2)，D(X2).则(　　) A．E(X1)＝E(X2) B．E(X1)>E(X2) C．D(X1)>D(X2) D．D(X1)<D(X2) 解析：选AC.从中随机有放回地摸出3个球，则每次摸到红球的概率为＝， 则X1～B(3，)，故E(X1)＝3×＝，D(X1)＝3××＝. 从中随机无放回地摸出3个球，则X2的可能取值为0，1，2，3，P(X2＝0)＝＝，P(X2＝1)＝＝，P(X2＝2)＝＝，P(X2＝3)＝＝，所以随机变量X2的分布列为 X2 0 1 2 3 P 期望E(X2)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (另解：易知X2服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，则E(X2)＝3×＝.) D(X2)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝，故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2). 11．(15分)(2026·聊城模拟)周末4个同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目.4人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目． (1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率；(6分) (2)用X，Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列及期望．(9分) 解：依题意，这4个人中，每个人参加甲项目的概率为＝，参加乙项目的概率为＝，设“这4个人中恰有k人参加甲项目”为事件Ak(k＝0，1，2，3，4)， 则P(Ak)＝C()k()4-k. (1)这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率为P(A2)＝C×()2×()2＝. (2)X＝0，Y＝4或X＝4，Y＝0时，ξ＝|X－Y|＝4，X＝1，Y＝3或X＝3，Y＝1时，ξ＝|X－Y|＝2，X＝2，Y＝2时，ξ＝|X－Y|＝0， 故ξ的所有可能取值为0，2，4. 则P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝C×()1×()3＋C×()3×＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝C×()4＋C×()4＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P 所以期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. 12．(15分)(2026·北京期中)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按比例分配的分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；(5分) (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；(5分) (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择． 方案一：产品不分类，售价均为21元/件． 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价(元/件) 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由．(5分) 解：(1)由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为Y， 则Y～B(3，)， 所以P(Y＝1)＝C××()2＝. (3)选择方案一．理由：由题意得，方案二的产品的平均售价为24×＋22×＋18×＋16×＝21.2(元/件)，因为21<21.2，所以从采购商的角度考虑，应该选择方案一． 学科网（北京）股份有限公司 $