第8章 第5讲 椭 圆(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆核心考点，涵盖定义、标准方程及几何性质，按“定义辨析-方程推导-性质应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理（如定义中2a与|F₁F₂|关系）、方法指导（如焦点三角形面积公式）、真题训练（如离心率计算）等环节，帮助学生构建完整知识网络，突破难点。 资料突出数学思维与数学语言融合，如推导焦点三角形面积时引导学生用余弦定理结合椭圆定义，培养推理能力；讲解离心率时通过齐次式转化训练代数表达，提升运算能力。设置分层练习（基础判断、中档计算、综合应用），配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第5讲　椭　圆 课标要求　1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质． 1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 M点的轨迹为椭圆 F1，F2为椭圆的焦点； |F1F2|为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| 提醒　若2a＝|F1F2|，则动点M的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点M的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0＜e＜1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 提醒　焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 常用结论　 1．若点P在椭圆上，O为坐标原点，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S. (1)当P为短轴端点时，θ最大； (2)S＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc； (3)焦点三角形的周长为2(a＋c). 3．椭圆的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于坐标轴)，其长为. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)表示的曲线是椭圆.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2，则离心率e＝＝. 3．(多选)(选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则(　　) A．椭圆的长轴长为5 B．椭圆的离心率e＝ C．点(3，0)是椭圆的一个焦点 D．椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10 解析：选BCD.把原方程化成标准方程，得＋＝1，所以a＝5，b＝4，c＝＝3，因此，椭圆的长轴长是2a＝10，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点P到两焦点的距离的和为2a＝10. 4．(选择性必修第一册P109T1改编)设椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为________． 解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，即|PF1|＝6，且a＝10，所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14. 答案：14 5．(用结论)已知F(1，0)是椭圆C的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为________________________． 解析：由题意可知|AB|＝3＝，又c＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 考点一　椭圆的定义及其应用 　(1)已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C． D．2 (2)(2026·辽宁名校联盟月考)已知椭圆C：＋＝1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足＝＋，则||＝(　　) A．6 B．4 C． D．2 【解析】　(1)由椭圆＋＝1， 得a＝5，b＝3，c＝4. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，所以m＋n＝10， 在△PF1F2中，由余弦定理可得 (2c)2＝m2＋n2－2mn·cos ∠F1PF2 ＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn，得mn＝， 故S△PF1F2＝mn·sin ∠F1PF2＝××＝. (2) 设椭圆C的右焦点为F1，连接PF，PF1，取PF的中点为N，连接ON，如图所示． 由椭圆定义可知|PF|＋|PF1|＝12，由|PF|＝8，可得|PF1|＝4.易知＝＋＝2，所以||＝2||，又因为O为FF1的中点，所以ON∥PF1，且|ON|＝|PF1|＝2，可得||＝4. 【答案】　(1)C　(2)B 【感悟进阶】　椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆； 二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|的值，通过整体代入可求其面积等． 　已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过F1且垂直于AF2的直线与E交于B，C两点，则△ABC的周长为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：选B. 由椭圆E：＋＝1，得a＝4， 过F1且垂直于AF2的直线与椭圆E交于B，C两点， 所以BC为线段AF2的垂直平分线，连接BF2，CF2得|AB|＝|BF2|，|AC|＝|CF2|， 则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝|BF2|＋|CF2|＋|BF1|＋|CF1|＝2a＋2a＝16. 考点二　椭圆的标准方程 　(1)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为____________________． 【解析】　(1)由题意得|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4， 又c＝2，则b＝2，因为椭圆焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题意知或解得或 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. 【答案】　 (1)D　(2)＋y2＝1或＋＝1 【感悟进阶】　求椭圆方程的两个基本方法 (1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程． (2)待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式． 　1.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则(　　) A．－1＜m＜1 B．0＜m＜1 C．－1＜m＜0 D．－1＜m＜0或0＜m＜1 解析：选C.因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆， 所以解得－1＜m＜0. 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B.由离心率e＝＝＝＝，解得＝，则b2＝a2　①.因为A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点，所以A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－2　②，联立①②，解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1. 考点三　椭圆的几何性质 角度1　离心率 　(1)(2025·武汉二调)已知直线3x＋2y＝6经过椭圆m2x2＋n2y2＝1(m≠n)的两个顶点，则该椭圆的离心率为__________． (2)已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3|AB|＝2|BC|，则该椭圆的离心率为__________． 【解析】　(1)在3x＋2y＝6中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝2. 由题意可得(0，3)，(2，0)为椭圆m2x2＋n2y2＝1的顶点，则椭圆的方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，则c＝＝， 所以离心率e＝＝. (2)由椭圆的方程＋＝1(a＞b＞0)可得，当x＝c时，y＝±，所以|AB|＝2c，|BC|＝.因为3|AB|＝2|BC|，所以6c＝，所以3ac＝2b2＝2a2－2c2，所以3e＝2－2e2，解得e＝或e＝－2(舍去). 【答案】　(1)　(2) 【感悟进阶】　求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． 角度2　最值(范围)问题 　(1)已知椭圆C的方程为＋y2＝1，点A是椭圆C的上顶点，点M是椭圆C上任意一点，则|MA|的最大值是(　　) A．2 B．4 C． D． (2)(2026·长沙月考)过椭圆C：＋＝1的中心作直线 l 交椭圆于P，Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ 周长的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 【解析】　(1)因为椭圆C的方程为＋y2＝1，则A(0，1)，设M(x，y)，由＋y2＝1，得x2＝4－4y2，且－1≤y≤1，所以|MA|2＝x2＋(y－1)2＝4－4y2＋(y－1)2＝－3y2－2y＋5＝－3(y＋)2＋，当y＝－时，|MA|2取得最大值，故|MA|max＝. (2)设C的另一个焦点为F′，由题意知，2a＝8，连接F′Q， 根据椭圆的对称性知|PF|＝|QF′|，所以△PFQ 的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|QF|＋|PQ|＝8＋|PQ|，当线段PQ为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PFQ 周长的最小值为 14. 【答案】　 (1)C　(2)B 【感悟进阶】　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1) 利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2) 利用函数，尤其是二次函数． (3) 利用不等式，尤其是基本不等式． 　1.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：选C.由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，则当且仅当x＝2时，·取得最大值6. 2．(2026·淮安段考)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1为钝角三角形，则离心率e的取值范围为(　　) A．(0，－1) B．(－1，1) C．(，1) D．(0，) 解析：选A.由题意可得|AB|＝，即|AF2|＝.因为△ABF1为钝角三角形，所以∠AF1F2＞45°，可得|F1F2|＜，即2c＜，即b2＞2ac.由b2＝a2－c2，可得a2－c2＞2ac，即c2＋2ac－a2＜0，即e2＋2e－1＜0，且0＜e＜1，解得0＜e＜－1. 学科网（北京）股份有限公司 $