第8章 第4讲 直线、圆的几何性质(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆的几何性质，覆盖切线、弦长、最值及轨迹四大核心考点，按“基础应用—综合提升—拓展延伸”逻辑架构，通过考点梳理（如切线的几何法与代数法）、方法指导（弦长公式、最值转化策略）、真题训练（2025天津卷等典型题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与模型观念培养，如最值问题中通过几何转化（距离、斜率）和参数方程发展推理意识，轨迹问题用相关点代入法强化应用能力。设置分层练习（基础题如弦长计算、提升题如四边形面积最值），配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第4讲　直线、圆的几何性质 课标要求　1.能解决与圆有关的切线、弦长、最值问题．　2.通过求与圆有关的轨迹问题，体会求轨迹方程的一般方法． 考点一　圆的切线与弦长问题 角度1　切线问题 　(1)(2026·温州模拟)若方向向量为(1，－2)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝5相切，则直线l的方程可以是(　　) A．x＋2y＋7＝0 B．2x＋y＋3＝0 C．x＋2y－6＝0 D．2x＋y－6＝0 (2)(2026·南京六校调研)已知点P为直线l：x＋y－2＝0上的一点，过点P作圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的切线PA，切点为A，则cos ∠PCA的最大值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)由直线l的方向向量为(1，－2)知，直线l的斜率k＝－2， 可设直线l的方程为y＝－2x＋b，则由直线l与圆相切知，圆心(1，0)到直线l的距离d＝＝，解得b＝7或b＝－3，所以直线l的方程为y＝－2x＋7或y＝－2x－3，即2x＋y－7＝0或2x＋y＋3＝0. (2)圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(－1，－1)，半径为1， 由题意知CA⊥PA，如图， 则cos ∠PCA＝＝， 要使cos ∠PCA取得最大值，只需|PC|取得最小值， 易知PC与直线x＋y－2＝0垂直时，|PC|最小，此时|PC|＝＝2， 所以cos ∠PCA的最大值为＝. 【答案】　(1)B　(2)A 【感悟进阶】　当切线方程斜率存在时，求圆的切线方程有以下方法： (1)几何法：设圆的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设圆的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 提醒　(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)·(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 易错点　设切线方程时，易忽略斜率不存在的情况． 角度2　弦长问题 　(2025·天津卷)已知直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点．若|AB|＝3|CD|，则r＝________． 【解析】　 如图，设圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为E，则点E(－1，3)到直线l1的距离d＝＝. 易知|AB|＝6，又|AB|＝3|CD|， 则|CD|＝2，所以r2＝d2＋()2＝2＋2＝4，解得r＝2. 【答案】　2 【感悟进阶】　弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长l＝2.　 　1.(2026·南昌模拟)已知直线y＝2x与圆x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，O为坐标原点，若|OA|＝，则|OB|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C. 如图，由x2＋y2－2x－3＝0得(x－1)2＋y2＝4，直线y＝2x可化为2x－y＝0，故圆心(1，0)到直线2x－y＝0的距离d＝＝，又圆的半径r＝2，所以|AB|＝2＝，又|OA|＝，则|OB|＝|AB|－|OA|＝. 2．(2026·石家庄质检)若圆M：(x－1)2＋(y－m)2＝25被直线3x－4y－7＝0所截得的弦长为10，过点P(－7，5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则|PA|的值为________． 解析： 由弦长为10，圆M的直径为2×5＝10，得直线3x－4y－7＝0过圆心M(1，m)，将圆心坐标代入直线方程得3－4m－7＝0，解得m＝－1， 所以M(1，－1)，又点P(－7，5)，可得|PM|＝＝10，所以|PA|＝＝＝5. 答案：5 考点二　与圆有关的最值问题 角度1　借助几何性质求最值 　(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A．当x≠0时，的最小值是－ B．x2＋y2的最小值是1 C．y－x的最小值是2－ D．|x＋y＋3|的最小值为2 【解析】　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆． 对于A，设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1， 解得k≥或k≤－，故A错误； 方法一：对于B，因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确； 对于C，设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，则≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最小值是2－，故C正确； 对于D，|x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，因为圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离d＝，则|x＋y＋3|的最小值为×(－1)＝5－，故D错误． 方法二：x2＋y2－4y＋3＝0可化为x2＋(y－2)2＝1，令其中θ为参数． 对于B，x2＋y2＝cos2θ＋(2＋sinθ)2 ＝cos2θ＋sin2θ＋4sinθ＋4＝4sin θ＋5， 因为sin θ∈[－1，1]，所以(x2＋y2)min＝4×(－1)＋5＝1，故B正确； 对于C，y－x＝2＋sin θ－cos θ ＝sin (θ－)＋2， 因为sin (θ－)∈[－1，1]， 所以(y－x)min＝×(－1)＋2＝2－，故C正确； 对于D，|x＋y＋3|＝|cos θ＋sin θ＋2＋3| ＝， 因为sin (θ＋)∈[－1，1]， 所以|x＋y＋3|min＝5－，故D错误． 【答案】　BC 【感悟进阶】　与圆有关的最值问题的三种几何转化 提醒　圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的参数方程为其中θ为参数． 角度2　建立函数关系求最值 　过圆C：(x－3)2＋y2＝4外一动点P(t2，2t)作该圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为________． 【解析】　由题意知圆C：(x－3)2＋y2＝4的圆心为C(3，0)，半径为2， 如图，PA⊥CA，PB⊥BC，则S四边形PACB＝2××|PA|·|CA|＝2|PA|，而|PA|＝＝，当|PC|最小时，|PA|最小，则S四边形PACB最小． 动点P(t2，2t)在圆外，所以(t2－3)2＋(2t)2＞4，整理得(t2－1)2＋4＞0恒成立，则|PC|＝＝＝，当t2＝1时，(t2－1)2＋8取最小值8，即|PC|取到最小值2， 则|PA|＝取最小值2，故S四边形PACB＝2|PA|的最小值为4. 【答案】　4 【感悟进阶】　建立函数关系式求最值，要根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式等方法求解． 　1.已知动点M到两个定点O(0，0)，A(4，0)的距离之比为1∶3，过点M作圆C：＋(y－3)2＝4的切线，切点为P，则|MP|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意可设M(x，y)，则＝，化简得点M的轨迹方程为(x＋)2＋y2＝，则点M的轨迹为圆，设圆心为Q，半径为R，则Q(－，0)，R＝. 如图， 圆C的半径r＝2，圆心C(，3)，连接CP，CM，则|MP|＝，要使|MP|最小，只需|MC|最小．连接CQ，由图可知|MC|min＝|QC|－R＝－＝，所以|MP|min＝＝. 2．设点P(x，y)是圆C：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________． 解析：由题意知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆C上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆C的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：12 考点三　与圆有关的轨迹问题 　已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程． 【解】　(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝|PM|，所以＝·，整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2. (2)设点Q的坐标为(x0，y0)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以＝2，即(x0－xA，y0－yA)＝2(6－x0，－y0)，解得又点A在轨迹C上运动，即(3x0－12)2＋(3y0)2＝2，化简得(x0－4)2＋y＝，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝. 【感悟进阶】　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件列方程；(2)定义法：根据圆的定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 　1.由动点P向圆M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B.若四 边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2 C．(x－2)2＋(y－3)2＝4 D．(x－2)2＋(y－3)2＝2 解析：选B.圆M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1，圆心M(－2，－3)，半径r＝1.因为四边形APBM为正方形，所以|PM|＝，所以动点P的轨迹是以点M(－2，－3)为圆心，为半径的圆，即动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝2. 2．已知正三角形OAB的边长为1，动点C满足＝λ＋μ，且λ2＋λμ＋μ2＝1，则点C的轨迹是(　　) A．线段 B．直线 C．射线 D．圆 解析：选D.由题可知，||＝||＝||＝1，∠AOB＝60°，所以·＝1×1×cos 60°＝. 又＝λ＋μ，所以2＝(λ＋μ)2＝λ22＋2λμ·＋μ22＝λ2＋λμ＋μ2＝1，所以||2＝1，即||＝1， 所以点C的轨迹是以点O为圆心，1为半径的圆． 学科网（北京）股份有限公司 $