第8章 第4讲 直线、圆的几何性质 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，以"几何性质+代数运算"双路径构建解题体系，强化直观想象与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|3题|标准方程转化、点线距公式、弦长公式|圆的方程→位置关系判定→度量计算| |切线问题|4题|切线性质、切点弦方程、切线长公式|圆的切线定义→方程求解→长度计算| |轨迹方程|3题|代入法、定义法、参数法|动点关系→几何条件→方程构建| |综合应用|4题|数形结合、转化思想、分类讨论|直线圆性质→综合问题→多法求解|

1．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4 B．2 C． D． 解析：选B.因为x2＋y2－2x－4y＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，所以直线m被圆M截得的弦长为2＝2. 2．若过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线所在直线的斜率k＝＝，所以切线的斜率为－2，则该切线的方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. 3．已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选C.由题意得圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9，则直线l过圆心C(3，1)，故3＋a－1＝0， 解得a＝－2，所以点A(－1，－2)，|AC|＝＝5.又半径r＝3，所以|AB|＝＝4. 4．若△PAB是圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的内接三角形，且|PA|＝|PB|，∠APB＝120°，则AB的中点D的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝1 B．(x－2)2＋(y－2)2＝2 C．(x－2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 解析：选D.因为|PA|＝|PB|，∠APB＝120°，所以∠ACB＝120°.因为|CB|＝2，所以|CD|＝1，所以线段AB的中点D的轨迹是以C(2，2)为圆心，1为半径的圆，所以线段AB的中点D的轨迹方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1. 5．(2026·海口模拟)已知点P(1，－2)和以点Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B. 已知圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，所以Q(4，2)，且P(1，－2)，则PQ的中点为R(，0)， 圆R的半径为|PR|＝＝， 故圆R的方程为(x－)2＋y2＝， 即x2＋y2－5x＝0， 又圆Q的方程可化为x2＋y2－8x－4y＋11＝0，所以公共弦AB所在直线的方程为3x＋4y－11＝0，设AB与PQ交于点S，则QS⊥AB，且|QS|＝＝， 又圆Q的半径|AQ|＝3， 所以|AB|＝2＝2×＝. 6．(多选)(2026·北京模拟)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点P在直线l：x－y－3＝0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是(　　) A．|PA|的最小值为 B．|PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为－1 C．|PA|最小时，弦AB长为 D．四边形PACB面积的最小值为 解析：选AC.易知圆心C为(－1，0)，半径为.由圆的切线性质可知，要使|PA|＝取最小值，只需|PC|最小． 而|PC|的最小值为点C到直线l的距离， 即＝2， 代入得|PA|min＝＝，A正确； 当|PA|最小时，PC⊥l，直线l：x－y－3＝0的斜率为1， 易知此时|PA|＝|PB|，|CA|＝|CB|，所以AB⊥PC，弦AB所在直线的斜率为1，B错误； 四边形PACB面积的最小值为×|PA|min×|AC|×2＝×＝2，D错误； 由上可知，|PA|最小时，四边形PACB的面积取得最小值为2，即×|AB|×|PC|min＝2，所以|AB|＝，C正确． 7．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的最大值为________，最小值为________． 解析：设t＝x＋y，则y＝－x＋t， t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， 所以x＋y的最大值和最小值就是直线y＝－x＋t与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1， 解得t＝－1或t＝－－1. 所以x＋y的最大值为－1，最小值为－－1. 答案：－1　－－1 8．(2026·稽阳模拟)已知P是直线l：x＋y－2＝0上的任意一点，若过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别记为A，B，则劣弧AB长度的最小值为________． 解析：如图所示， 易知圆心O到直线l的距离d＝， 在Rt△OAP中，OA＝1，OP≥， 所以sin ∠APO＝≤， 所以∠APO≤. 故当OP⊥l时，劣弧AB最小， 此时cos ∠POA＝＝，可得∠POA＝，所以劣弧AB长度的最小值为. 答案： 9．(13分)已知线段AB的端点B的坐标是(2，1)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；(6分) (2)设圆C1与曲线C2的交点为M，N，求线段MN的长．(7分) 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)， 由于点B的坐标为(2，1)，且点P是线段AB的中点，所以x＝，y＝， 于是有 因为点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动，所以(2x－2－4)2＋(2y－1－3)2＝4，整理，得(x－3)2＋(y－2)2＝1，所以点P的轨迹C2的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. (2)将圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1的方程相减得，2x＋2y－9＝0， 由圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C2(3，2)，半径为1，且点C2(3，2)到直线2x＋2y－9＝0的距离d＝＝， 则|MN|＝2＝. 10．(2025·安徽十校联考)已知圆C1：(x－1)2＋y2＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4，其中a，b∈R.若两圆外切，则的取值范围为(　　) A． B． C. D． 解析：选C.圆C1：(x－1)2＋y2＝1， 则C1(1，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4，则C2(a，b)，半径r2＝2，因为两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2＝3，即＝3，即(a－1)2＋b2＝9，则点(a，b)在以(1，0)为圆心，3为半径的圆上，即在圆(x－1)2＋y2＝9上．令k＝，则k表示过点(a，b)与点(5，3)的直线的斜率， 则该直线一定过点(5，3)，且与圆(x－1)2＋y2＝9有公共点，由题意作图，设该直线方程为y－3＝k(x－5)，即kx－y－5k＋3＝0，则圆心(1，0)到该直线的距离小于或等于3，即≤3，解得k∈[0，]，即的取值范围是[0，]. 11．(多选)(2026·邢台模拟)已知a≠0，a∈R，圆C：x2＋y2－2ax－4y＋a2＝0与直线x＝ty交于A，B两点，O为坐标原点，则(　　) A．当a＝1，t＝0时，|AB|＝2 B．过点O向圆C所引的切线长为|a| C．当a＝2时，弦AB中点的轨迹长度为π D．|OA|·|OB|＝a2 解析：选BCD.圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4的圆心C(a，2)，半径r＝2. 对于A，当a＝1，t＝0时，点C(1，2)到直线x＝0的距离d＝1，则|AB|＝2＝2，A错误； 对于B，切线长为＝|a|，B正确； 对于C，当a＝2时，点C(2，2)，令弦AB的中点为M，则CM⊥AB，点M的轨迹是以OC为直径的半圆(不含端点)，轨迹长度为|OC|π＝π，C正确； 对于D，由消去x得(t2＋1)y2－(2at＋4)y＋a2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝，|OA|·|OB|＝|·|＝|x1x2＋y1y2|＝|(t2＋1)·y1y2|＝a2，D正确． 12．(2026·昆明质检)已知点A(4，0)，B(2，2)，若直线l过O(0，0)且平分△OAB的面积，则l被△OAB外接圆截得的弦长为________． 解析：因为直线l过点O(0，0)，且平分△OAB的面积，则直线l过线段AB的中点M.因为A(4，0)，B(2，2)，所以M(3，1)，所以直线l的方程为y＝x，即x－3y＝0.设线段OA的中点为N，则N(2，0)，则有|BN|＝|ON|＝|NA|＝2，所以△OAB的外接圆是圆心为N(2，0)，半径r＝2的圆，即圆N的方程为(x－2)2＋y2＝4，点N到直线l的距离d＝，所以直线l被△OAB外接圆截得的弦长为2＝2＝. 答案： 13．(15分)已知圆C关于y轴对称，圆心在直线y＝x＋2上，与x轴相交的弦长为4. (1)求圆C的方程；(6分) (2)若点P是圆C上的动点，动点Q与两个定点A(1，－1)，B的距离之比为2，求|PQ|的最大值和最小值．(9分) 解：(1)因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，又圆心C在直线y＝x＋2上， 所以圆心C为直线y＝x＋2与y轴的交点，即(0，2). 又因为圆C与x轴相交的弦长为4，所以r＝＝2，则圆C的方程为x2＋(y－2)2＝8. (2)设动点Q(x，y)，因为动点Q与两个定点A(1，－1)，B(，－1)的距离之比为2， 所以＝2，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4[(x－)2＋(y＋1)2]， 化简得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，圆心为M(3，－1)，半径r1＝1，由(1)知圆C的圆心为C(0，2)，半径r＝2，则两圆的圆心距|MC|＝＝3＞2＋1， 所以两圆外离， 如图， |PQ|的最大值为|P1Q1|＝|MC|＋r＋r1＝3＋2＋1＝5＋1，最小值为|P2Q2|＝|MC|－r－r1＝3－2－1＝－1. 14．(2025·豫西北教研联盟质检)已知曲线Ω：x2＋y2＝|x|＋|y|，点P(m，n)在曲线Ω上，则下列结论错误的是(　　) A．曲线Ω围成的图形的面积为π＋2 B．的最小值为－1 C．点P(m，n)到直线x＋y＋3＝0的距离的最大值为 D．曲线Ω有且仅有2条对称轴 解析：选D.曲线Ω：x2＋y2＝|x|＋|y|　①， 当x≥0且y≥0时，曲线Ω的方程可化为(x－)2＋(y－)2＝，用－x替换x，①式不变，所以曲线Ω关于y轴对称，同理可得曲线Ω关于x轴对称，所以可作出曲线Ω，如图1所示． 对于A，由图1可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半径为的半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，所以曲线Ω围成的图形的面积为4×π×()2＋()2＝π＋2，故A正确； 对于B，表示点P(m，n)与点(2，0)的连线l的斜率，如图2， 由图2可知，当(x－)2＋(y－)2＝(x≥0且y≥0)与直线l相切时，取得最小值．设切线为y＝k(x－2)(k＜0)，则＝，解得k＝－1或k＝(舍去)，所以的最小值为－1，故B正确； 对于C，点(，)到直线x＋y＋3＝0的距离 d＝＝2，如图3， 结合图象可知，点P(m，n)到直线x＋y＋3＝0的距离的最大值为2＋＝，故C正确； 对于D，曲线Ω有4条对称轴，分别是x轴、y轴、直线y＝x、直线y＝－x，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $