第8章 第3讲 圆的方程及位置关系(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦圆的方程及位置关系核心考点，涵盖圆的定义、标准与一般方程、直线与圆及圆与圆位置关系判定，按“定义-方程-位置关系”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破方程求解、位置关系判断等难点。 资料采用“概念辨析-典例精讲-变式拓展”教学模式，通过判断正误夯实基础，结合2025年全国卷真题及变式训练，培养学生数学思维与几何直观能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第3讲　圆的方程及位置关系 课标要求　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．　2.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心C：(－，－) 半径r＝ 提醒　当D2＋E2－4F>0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形． 2．直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 注意　圆心到直线的距离为d，圆的半径为r. 3．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1 ＋r2 d＝r1 ＋r2 |r1－r2| ＜d＜r1 ＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2) (2)代数法 通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判定． 一元二次方程 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切． 常用结论　 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为：A＝C≠0且B＝0且D2＋E2－4AF＞0. 3．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)公共弦方程：两圆相交时公共弦所在直线的方程可由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点(1，3)在圆x2＋y2＝24的内部．(　　) (2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (3)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.(　　) (5)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．圆心为(－1，2)且与x轴相切的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 解析：选D.因为圆心为(－1，2)且与x轴相切，所以半径r＝2，则圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4. 3．(选择性必修第一册P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选C.圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，即C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，圆心C2(3，4)，半径r2＝4，则|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切． 4．(选择性必修第一册P102 T7改编)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是____________． 解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1. 答案：(－∞，1) 5．(用结论)过直线2x－y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－15＝0的交点且过原点的圆的方程是_________________________． 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－15＋λ(2x－y＋1)＝0，因为此圆过原点， 所以可得－15＋λ＝0，解得λ＝15， 将λ＝15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为x2＋y2＋28x－15y＝0. 答案：x2＋y2＋28x－15y＝0 考点一　圆的方程 　(1)圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 (2)(多选)设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，则下列说法中正确的是(　　) A．该圆的圆心坐标为(a，b) B．该圆过原点 C．该圆与x轴相交于两个不同的点 D．该圆的半径为a2＋b2 【解析】　(1)设圆心坐标为(t，0)，因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以|t|即为半径，则根据题意得＝|t|，解得t＝－5.所以圆心坐标为(－5，0)，半径为5，则该圆的方程为(x＋5)2＋y2＝25，化为圆的一般方程得x2＋y2＋10x＝0. (2)由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为，故A，D不正确；因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，故B正确；在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中，令y＝0，有(x－a)2＋b2＝a2＋b2，解得x＝2a或x＝0，因为a>0，所以该圆与x轴相交于两个不同的点，故C正确． 【答案】　(1)C　(2)BC 【感悟进阶】　求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程；②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程． 　设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 ________________． 解析：方法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则解得 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法二：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，所以点M到两点的距离相等且为半径r，所以＝＝r， 即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2， 解得a＝1，所以M(1，－1)，r＝， 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法三：设点A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为(，)，所以AB垂直平分线的方程为y－＝3(x－)，即3x－y－4＝0. 联立解得 所以M(1，－1)，所以r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5 考点二　直线与圆的位置关系 　(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　方法一：由题易知圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝＝2，因为圆上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，所以|d－r|＜1，即|2－r|＜1，所以1＜r＜3. 方法二： 设与直线y＝x＋2距离为1的平行直线的方程为y＝x＋c(c≠2)，由＝1得c＝0或c＝4，记l1：y＝x，l2：y＝x＋4，则圆与l1，l2共有两个交点，由于圆心(0，－2)位于直线l1下方，所以圆只能与l1相交且与l2相离，所以＜r＜，即1＜r＜3. 快解(特殊值法)：圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝＝2，当r＝1时，圆上有一个点到直线y＝x＋2的距离为1；当r＝3时，圆上有三个点到直线y＝x＋2的距离为1，所以要使圆上有且仅有两个点到直线y＝x＋2的距离为1，则1＜r＜3. 【答案】　B 真题源于人教A版选择性必修第一册P99T13.已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1? 相似度　这两道题均围绕圆上到直线特定距离的点的个数，通过点到直线的距离公式，结合圆的圆心、半径分析求解参数，思路核心相似但所求参数及形式有区别． 变式点　真题可以改变圆的方程及直线方程形式，也可改变距离值、点的个数及参数意义． [变式1]　已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋11＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.(x－1)2＋(y－1)2＝9的圆心为(1，1)，半径为r＝3，圆心(1，1)到直线3x－4y＋11＝0的距离为＝2，如图，故到直线3x－4y＋11＝0的距离为1的点P共有3个． [变式2]　若圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝9上恰有4个点到直线3x－4y＝0的距离为2，则实数b的取值范围是________． 解析： 由圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝9，可得圆心C(1，b)，半径r＝3，如图所示，过圆心C作直线3x－4y＝0的垂线，垂足为A，延长CA交圆C于点B，要使得圆C上有4个点到直线3x－4y＝0的距离为2，则满足|CA|<1，又由圆心C到直线3x－4y＝0的距离d＝ ＝<1，解得－<b<2，即实数b的取值范围是(－，2). 答案：(－，2) 【感悟进阶】　判定直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：求出圆心到直线的距离d，利用d与半径r的大小关系判定． (2)代数法：联立方程后利用解的情况判定． 　(2026·湖北八市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1和直线l：y＝kx－，则“k＞”是“直线l与圆C有公共点”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1，0)，半径为1，若直线l与圆C有公共点，则≤1，解得k≥，所以“k＞”是“直线l与圆C有公共点”的充分不必要条件． 考点三　圆与圆的位置关系 　已知A(0，0)，B(8，－6)，圆C1是以线段AB为直径的圆，圆C2：x2＋(y＋2)2＝4. (1)求圆C1的标准方程； (2)求C1与C2的公切线条数，并探究C1与C2是否有公共弦，若有，求出公共弦所在直线的一般式方程；若没有，请说明理由． 【解】　(1)因为A(0，0)，B(8，－6)，所以AB的中点为(4，－3)，且|AB|＝＝10，因为圆C1是以线段AB为直径的圆，即圆心为C1(4，－3)，半径r1＝|AB|＝5，所以圆C1的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)圆C2：x2＋(y＋2)2＝4的圆心为C2(0，－2)，半径r2＝2， 又|C1C2|＝＝， 所以|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，故两圆相交，其公切线条数为2，此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦所在直线的一般式方程为4x－y＝0. 【感悟进阶】　圆与圆的位置关系的求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和与差的绝对值之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2项和y2项得到． 　(多选)已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列结论正确的有(　　) A．若圆C1和圆C2外离，则a＞4 B．若圆C1和圆C2外切，则a＝±4 C．当a＝0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a＝－2时，圆C1和圆C2相交 解析：选BCD.由题意知，圆心C1(3，0)，C2(0，a)，|C1C2|＝，r1＝1，r2＝4.若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|＝＞r1＋r2＝5，解得a＞4或a＜－4，故A错误； 若圆C1和圆C2外切，|C1C2|＝＝5，解得a＝±4，故B正确； 当a＝0时，|C1C2|＝3＝r2－r1，圆C1和圆C2内切，故C正确； 当a＝－2时，3＜|C1C2|＝＜5，圆C1和圆C2相交，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $