第8章 第3讲 圆的方程及位置关系 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 以圆的方程为核心，通过基础到综合题型系统覆盖圆的性质、位置关系及应用，注重几何直观与运算推理结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程|1,5,7,9|求方程、参数确定|从标准方程到一般方程，结合几何性质（圆心、半径）| |位置关系|2,4,6,11,13|点/直线/圆与圆位置判断|通过距离公式、半径关系构建逻辑链条| |综合应用|3,8,10,12,14|曲线长度、最值、存在性|融合轨迹思想、向量工具，体现模型意识与应用能力|

1．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4 解析：选A.根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 2．已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　) A．－6<k< B．k<－6或k> C．k>－6 D．k< 解析：选A.由题意知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.因为点M(3，1)在圆C外，则>，且1－2k>0，即13>1－2k且k<，即－6<k<. 3．(2026·新乡模拟)曲线y＝(x≤)的长度为(　　) A．2π B． C．π D． 解析：选D.由y＝(x≤)， 得x2＋y2＝4(x≤，y≥0)， 所以曲线y＝(x≤)是以坐标原点O为圆心，2为半径的圆弧，如图， 其中点A的横坐标为，则∠AOx＝，∠AOB＝π－＝， 故曲线y＝(x≤)的长度为×2＝. 4．若圆(x－3)2＋(y－5)2＝r2(r＞0)上有且只有四个点到直线5x＋12y＝10的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　) A．(4，6) B．(6，＋∞) C．(0，4) D．[4，6] 解析：选B.圆(x－3)2＋(y－5)2＝r2(r＞0)的圆心为(3，5).圆心到直线5x＋12y＝10的距离为＝5，由|r－1|＞5，解得r＞6. 5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 解析：选ABD.设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得 满足D2＋E2－4F>0，所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为，故A，B正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，所以点(2，3)在圆M内，故D正确． 6．(多选)(2026·福州质检)已知点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　) A．两圆的公切线有4条 B．两圆上任意一点关于直线4x＋3y＝0的对称点均仍在该圆上 C．|PQ|的取值范围为[3，7] D．两圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0 解析：选ABC.圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，圆心C2(3，－4)，半径r2＝1. 对于A，|C1C2|＝＝5＞r1＋r2，所以圆C1，C2外离，两圆有4条公切线，A正确； 对于B，因为直线C1C2的方程为4x＋3y＝0，故直线4x＋3y＝0为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3，|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝7，则|PQ|的取值范围为[3，7]，C正确； 对于D，由圆C1，C2外离，得圆C1，C2不存在公共弦，D错误． 7．(2026·南京模拟)若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1＝0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为________． 解析：设过点A(1，2)且与直线l：x－y＋1＝0垂直的直线为x＋y＋m＝0， 则1＋2＋m＝0，解得m＝－3， 所以x＋y－3＝0，即圆心在直线x＋y－3＝0，又圆心在x轴上，令y＝0，可得x＝3，所以圆心C的坐标为(3，0). 答案：(3，0) 8．(2026·台州模拟)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，其中D＜0，若圆C上仅有一个点到直线x＋y－2＝0的距离为1，则的值为________；圆C的半径取值可能为______________________(写出一个即可). 解析：根据题意，易知与直线x＋y－2＝0的距离为1的点都在直线x＋y＝0和x＋y－4＝0上，又圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0过原点且原点到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以圆C与x＋y＝0切于原点，则圆心C在过原点与x＋y＝0垂直的直线上，则C(－，－)在直线y＝x上，所以＝. 由上可知圆C与x＋y－4＝0无交点，所以r∈(0，1)，如图． 答案：　(满足0＜r＜1即可，答案不唯一)　 9．(13分)已知动圆C经过点A(2，－3)和B(－2，－5). (1)当圆C面积最小时，求圆C的方程；(6分) (2)若圆C的圆心在直线3x＋y＋5＝0上，求圆C的方程．(7分) 解：(1)要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，圆心C(0，－4)，半径r＝|AB|＝，所以所求圆C的方程为x2＋(y＋4)2＝5. (2)设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据已知条件得， 解得所以所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则|＋|的最大值为(　　) A．2 B．2 C．2－ D．2＋ 解析：选D.由题意可知△ABC是边长为1的正三角形，设AB的中点为M，则|CM|＝，又C(1，1)，所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝，且|OC|＝.因为＋＝2，所以|＋|＝2||，因为|OM|≤|OC|＋|CM|＝＋，当且仅当点C在线段OM上时等号成立，所以||的最大值为＋，所以|＋|的最大值为2＋. 11．(多选)已知圆C：x2－4x＋y2＝0，直线l：(m＋1)x＋2y－3－m＝0(m∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过定点(－1，1) B．直线l与圆C一定有公共点 C．当m＝－3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋1＝0只有一条公切线 解析：选BC.对于A，直线l的方程可化为(x－1)m＋x＋2y－3＝0， 由得 直线l恒过定点(1，1)，故A错误； 对于B，C：(x－2)2＋y2＝4，又(1－2)2＋12＝2＜4，即定点(1，1)在圆C内，则直线l与圆C相交，即直线l与圆C一定有公共点，故B正确； 对于C，当m＝－3时，直线l：x－y＝0，圆心C(2，0)到直线l的距离d＝＝， 而圆C半径为2，且2－＜1，因此圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1，故C正确； 对于D，圆x2＋y2－2x＋8y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y＋4)2＝16， 圆心为(1，－4)，半径为4， 因为4－2＝2＜＝＜4＋2＝6，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故D错误． 12．在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心C(4，0)，半径为1，则题中条件可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2，即≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值是. 答案： 13．(15分)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(6分) (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，则C1(1，－2)，半径r1＝3， 圆C2的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，则C2(－1，0)，半径r2＝1，可得两圆的圆心距d＝＝2， 且r1＋r2＝4，r1－r2＝2，则r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交． (2)不存在，理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9， 则C1(m，－2)，半径r1＝3. 由(1)可知，C2(－1，0)，半径r2＝1. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含， 则圆心距d＝＜3－1， 整理得(m＋1)2＜0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 14．(15分)已知圆C1：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x－5＝0. (1)试判断圆C1与圆C2是否相交．若相交，求两圆公共弦所在直线的方程；若不相交，请说明理由．(7分) (2)若直线y＝kx＋1与圆C1交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求实数k的值．(8分) 解：(1)圆C1化成标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心C1(－1，2)，半径r1＝2. 圆C2化成标准方程为(x－2)2＋y2＝9， 圆心C2(2，0)，半径r2＝3. 由于|r1－r2|＝1＜|C1C2|＝＝＜r1＋r2＝5，故圆C1与圆C2相交． 两圆方程作差得(x2＋y2＋2x－4y＋1)－(x2＋y2－4x－5)＝6x－4y＋6＝0， 即两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＋3＝0. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋1代入x2＋y2＋2x－4y＋1＝0， 得x2＋(kx＋1)2＋2x－4(kx＋1)＋1＝0. 整理得(1＋k2)x2＋(2－2k)x－2＝0，Δ＝(2－2k)2＋8(1＋k2)＞0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋ k(x1＋x2)＋1＝. 由题意得OA⊥OB，即·＝0，可得x1x2＋y1y2＝0， 所以＝0，即k2－2k－1＝0， 解得k＝1－或k＝1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $