第8章 第2讲 两直线的位置关系 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦直线与方程核心知识，以题载法构建"概念-判定-应用"三阶训练体系，强化几何直观与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|倾斜角与斜率互化、点线距离公式|从直线方程形式到几何量计算的转化| |位置关系|4题|垂直斜率积为-1、平行系数比相等|通过代数条件判定几何位置关系| |综合应用|7题|定点问题参数分离法、对称问题坐标转移法|整合方程思想与几何性质解决复杂问题|

1．已知直线l1：3x－y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解析：选A.直线l1：3x－y＋1＝0即y＝x＋，因为l2与l1垂直，所以l2的斜率为－，故l2的倾斜角为150°. 2．已知A(4，0)，B(2，a)两点到直线l：x＋y－5＝0的距离相等，则a＝(　　) A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 解析：选D.因为A(4，0)，B(2，a)两点到直线l：x＋y－5＝0的距离相等， 所以＝，所以|a－3|＝1，所以a＝2或a＝4. 3．“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，得2×3－m(m＋1)＝0且m≠0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的充分不必要条件． 4．已知直线l经过直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量v＝(－3，2)，则直线l的方程是(　　) A．3x－2y－1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0 解析：选C.联立得即直线l1，l2的交点为(1，1).因为直线l的一个方向向量v＝(－3，2)，所以直线l的斜率k＝－，则直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 5．原点O到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.直线l：λx＋y－λ＋1＝0， 可化为λ(x－1)＋y＋1＝0， 令解得 所以直线l过定点P(1，－1)，|OP|＝＝， 当OP⊥l时，原点O到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离最大，最大值为. 6．(多选)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l2过定点(－3，－1) B．当m＝1时，l1⊥l2 C．当m＝2时，l1∥l2 D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1 解析：选ACD.对于A，方法一：直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m(x－y＋2)＝0，则由解得即直线l2过定点(－3，－1)，故A正确； 方法二：在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，解得x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点(－3，－1)，故A正确； 对于B，若l1⊥l2，则有4(m＋2)＋(－3)·[－(m＋1)]＝0，解得m＝－，故B不正确； 对于C，若l1∥l2，则有4·[－(m＋1)]－(－3)·(m＋2)＝0，解得m＝2，且当m＝2时，l1与l2不重合，故C正确； 对于D，当l1∥l2时，由上可知此时直线l2的方程为4x－3y＋9＝0，则l1，l2之间的距离为＝1，故D正确． 7．已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－6y＋12＝0的交点在y轴上，那么实数k的值是________． 解析：由x－6y＋12＝0可得直线与y轴的交点坐标为(0，2)，将点(0，2)代入2x＋3y－k＝0，得k＝6. 答案：6 8．已知在梯形ABCD中，CD＝2AB＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为________． 解析：由题知AB∥CD，直线AB和CD之间的距离d＝＝2，即梯形的高为 2，又CD＝2AB＝6，所以梯形ABCD的面积为×(3＋6)×2＝9. 答案：9 9．(13分)设直线l1：3x－y＋5＝0和直线l2：x＋y＋3＝0的交点为P. (1)若直线l经过点P，且与直线x＋2y＋5＝0垂直，求直线l的方程；(6分) (2)若直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P对称，求直线m的方程．(7分) 解：(1)由得交点P(－2，－1). 由直线l与直线x＋2y＋5＝0垂直，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0.将点P(－2，－1)代入得2×(－2)－(－1)＋c＝0，解得c＝3，所以直线l的方程为2x－y＋3＝0. (2)方法一：由题意可得直线m与直线x＋2y＋5＝0平行，则可设直线m的方程为x＋2y＋t＝0(t≠5)，又点P(－2，－1)到两条直线的距离相等，即＝，解得t＝5(舍去)或t＝3，所以直线m的方程为x＋2y＋3＝0. 方法二：设直线m上任意一点M(x，y)，则点M关于点P(－2，－1)对称的点为N(－4－x，－2－y)，且点N(－4－x，－2－y)在直线x＋2y＋5＝0上，得(－4－x)＋2×(－2－y)＋5＝0，整理得直线m的方程为x＋2y＋3＝0. 10．已知直线l1：mx－y＝0(m∈R)过定点A，直线l2：x＋my＋4－2m＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为(　　) A． B．2 C．5 D．10 解析：选C.直线l1：mx－y＝0(m∈R)过定点A，则A(0，0).直线l2：x＋my＋4－2m＝0，即x＋4＋m(y－2)＝0过定点B，则B(－4，2)，所以|AB|＝2.因为m×1＋(－1)×m＝0，所以l1与l2垂直，所以点C在以AB为直径的圆周上(A，B点除外)，所以当点C位于AB的垂直平分线与该圆的交点时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝|AB|×＝5. 11．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“W直线”．下列直线是“W直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋10 解析：选BC.设点M到直线的距离为d，对于A，d＝＝3>4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；对于B，d＝2<4，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；对于C，d＝＝4，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；对于D，d＝＝4>4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故D不符合题意． 12．已知正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，则正方形ABCD的边长为________． 解析：设直线CD的方程为x＋y＋m＝0(m≠－4)，联立 得C(，)， 联立 得D(，)， 所以由两点间的距离公式可得 |CD|＝|m＋11|， 又直线AB与CD之间的距离为， 所以|m＋11|＝， 解得m＝－8或m＝－32， 即|CD|＝2或|CD|＝14. 即正方形ABCD的边长为2或14. 答案：2或14 13．(15分)已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3，3). (1)求顶点A，C的坐标；(4分) (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程；(5分) (3)求平行四边形ABCD的面积．(6分) 解：(1)联立 解得即A(－，). 设C(x0，y0)，因为M(3，3)是AC的中点， 则解得 即C(，). (2)由直线AD的斜率kAD＝3，且BC∥AD，则直线BC的方程为y－＝3(x－)， 即y＝3x－16. 由直线AB的斜率kAB＝－1，且CD∥AB，则直线CD的方程为y－＝－(x－)， 即y＝－x＋11. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程是y＝3x－16和y＝－x＋11. (3)由得 即D(，)，所以|AD|＝＝. 又点M到直线AD的距离d＝＝，所以平行四边形ABCD的面积S＝|AD|·2d＝×2×＝50. 14． 如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________． 解析： 以A为坐标原点，过点A且平行于l1，l2的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，－2)，C(b，3). 因为AC⊥AB，所以·＝0， 即ab－6＝0，所以ab＝6，b＝. 所以Rt△ABC的面积S＝·＝·＝≥＝6(当且仅当9a2＝，即a2＝4时取等号)，故△ABC的面积的最小值为6. 答案：6 学科网（北京）股份有限公司 $