重难点专训01 直线与圆综合题型突破六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型突破-分层训练”构建直线与圆综合问题的系统化解决方案，融合几何直观与代数运算，强化通性通法与技巧迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|3大表格（直线/圆/位置关系）|梳理斜率公式、圆方程、位置判定条件，提炼几何法（距离比较）与代数法（判别式）的适用场景|从基础公式到位置关系判定，构建“概念-原理-应用”的递进逻辑| |题型通法及变式提升|6类题型（含30道例题）|针对切线问题总结“代一半”法则，弦长问题强调垂径定理优先，最值问题转化为距离/斜率/截距几何意义|按“判定-切线-弦长-最值-圆与圆-综合”的难度梯度设计，每题型配套技巧（如临界相切、防漏解）| |重难专题分层过关练|巩固16题+创新11题|结合最新模拟题，设置动态几何、轨迹方程等综合题，训练数学抽象与逻辑推理能力|从基础应用到创新拓展，覆盖高考高频考点，培养数学眼光与思维|

重难点专训01 直线与圆综合题型突破 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 直线与圆位置关系的判定 2 题型2 圆的切线问题 3 题型3 直线与圆相交的弦长问题 4 题型4 与圆有关的最值与范围问题 4 题型5 圆与圆的位置关系 5 题型6 直线与圆的综合问题 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 10 解题方法及技巧提炼 一、直线部分 类型 公式 说明 斜率 倾斜角 点斜式 过点 ，斜率 斜截式 斜率 ，纵截距 两点式 过 截距式 横、纵截距 一般式 不同时为 点到直线距离 点 到直线 平行线间距离 直线 二、圆部分 类型 公式 说明 标准方程 圆心 ，半径 一般方程 圆心 ，半径 一般方程条件 否则不表示圆 点与圆位置 在圆内； 在圆上； 在圆外 ， 为圆心 三、位置关系判定 类型 判定条件 结论 直线与圆（几何法） / / 相交（2个交点）/ 相切 / 相离 直线与圆（代数法） / / 联立消元后一元二次方程判别式 弦长公式 为圆心到直线的距离 圆与圆（圆心距 ） ； 外离；外切 圆与圆（续） ；； 相交；内切；内含 题型通法及变式提升 题型1 直线与圆位置关系的判定 【几何法】求圆心到直线的距离 ，与半径 比较： 相交、 相切、 相离。运算量小，是首选方法。 【代数法】联立直线与圆消元得到一元二次方程，用判别式 判断： 相交（两个交点）、 相切、 相离。适用于判断交点个数或需要联立求交点坐标的问题。 方法 核心步骤 适用场景 运算量 几何法 求圆心到直线距离 ，与 比较 判定位置关系、求切线、求弦长 小 代数法 联立方程，判别式 符号 求交点坐标、与韦达定理配合 较大 【技巧1·过定点】将含参直线整理为“关于参数的一次式”：如 化为 ，令 得定点 。若定点在圆内，则直线与圆恒相交（恒有公共点）；若定点在圆上，则直线与圆恒相交或相切。 【技巧2·临界相切】求参数范围时，“相切”是公共点从无到有、从有到无的临界状态：令 解出临界参数值，再结合图形（或代入特殊值试判）确定开闭方向。 【技巧3·小题快判】选择题中优先几何法：直接算 与 ，一般一分钟内完成；只有题目明确要求“交点个数”或需用韦达定理时再上代数法。 1．“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 2．设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 4．若直线与圆相切，则实数的值为__________． 5．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 题型2 圆的切线问题 【圆上点的切线】圆 上点 处的切线方程为 ；圆 上点 处的切线方程为 。 【圆外点的切线】设切线斜率为 ，由圆心到切线距离等于半径 （）列方程解 ；若斜率不存在的情形成立（竖直切线 与圆相切），需单独检验，防止漏解。 【切线长】过圆外点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切线长 （ 为圆心）。 【切点弦】上述两条切线的切点连线 （切点弦）所在直线方程为 （圆 时）；一般圆可用“代一半”法则整体写出。 【技巧1·代一半】写圆上点切线方程的记忆法则：把圆方程中的 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ，常数项不变。例：圆 上点 处切线为 。 【技巧2·垂直半径】切线垂直于过切点的半径：已知切点时可先用斜率关系（）直接写出切线斜率，避免判别式运算。 【技巧3·防漏解】凡“过一点作切线”用斜率法求得的 只有一解时，务必补验竖直直线 是否相切——圆外一点的切线有且仅有两条。 6.已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为________. 8．设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 9．已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 10．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 题型3 直线与圆相交的弦长问题 【几何法·垂径定理】设圆心到直线的距离为 ，半径 ，则弦长 。同时圆心与弦中点的连线垂直于弦且平分弦。 【代数法·弦长公式】联立直线与圆消元得 ，设交点 ，则 ，其中 为直线斜率（ 不存在时直接用几何法）。 【技巧1·几何优先】求弦长优先用 ，一步到位；只有在需要结合交点坐标（如向量条件、中点坐标）时才走代数法。 【技巧2·最短弦】圆内过定点的弦中，最长的弦是直径；最短的弦垂直于“圆心与定点连线”。“最短弦”问题的答案通常就是过定点且与该连线垂直的直线。 【技巧3·中点弦】涉及弦中点 时，优先用“圆心与中点连线垂直弦”，即 ，可绕开联立运算。 11．（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为__________. 12．（24-25高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________. 13．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为______． 14.，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 题型4 与圆有关的最值与范围问题 【距离型】圆上点到定直线距离的最值：，（ 为圆心到直线距离；若直线与圆相交则 ）；圆上点到定点 的距离最值为 。 【斜率型】 表示圆上点与原点连线的斜率，相切时取得最值（切线法）； 表示与定点 连线的斜率，同理用切线法。 【截距型】令 （或 型），转化为直线系与圆有公共点： 求出 的范围。 【平方和型】 表示圆上点到原点距离的平方，最值为 ；更一般地 为到定点距离平方。 【技巧1·三角代换】圆 上点可设为 ，把二元最值化为三角最值，配合辅助角公式处理。 【技巧2·几何意义优先】凡能翻译成“距离、斜率、截距”的式子，先用几何意义画图，切线相切处即最值处；避免直接消元求导。 【技巧3·判别式法】若几何意义不明显（如求 、 型），可令 转截距型，或用 与 的关系结合基本不等式。 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 16．（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 18．（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 19．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 题型5 圆与圆的位置关系 【位置判定】设圆心距 ，两圆半径 ： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含。公切线数目依次为 条。 【公共弦】两圆方程相减（消去 、 项）得到一次方程，即公共弦所在直线方程；公共弦长用“其中一个圆＋垂径定理”计算，不联立求交点。 【技巧1·圆系方程】过两圆 与 交点的圆系为 （）。求过两交点且满足附加条件（过某点、圆心在定直线上）的圆时，设圆系方程一步到位。 【技巧2·相减即公共弦】两圆方程相减得到的直线：相交时是公共弦，相切时是公切线，相离时是“根轴”（两圆幂相等的点的轨迹），均可直接使用。 【技巧3·动圆问题】与“圆与定圆内切/外切”相关的动圆圆心轨迹常为圆（定圆圆心为焦点），注意区分内切（）与外切（）。 20.已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 21.圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 22.“”是“圆：与圆：有公切线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23.两圆和的公共弦长为________． 24.已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 25．（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 26．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 题型6 直线与圆的综合问题 【求轨迹】直译法（建系设点，把几何条件坐标化）；定义法（识别圆、椭圆等定义）；相关点法（设动点 与已知曲线上的点 的关系，反解 代入原方程）。 【定点定值】引入参数（如直线斜率 ），联立得交点坐标（或直接利用韦达定理），把目标量表示为参数的表达式，再令“参数部分系数为零”得定点、化简得定值。 【向量交汇】把 、 等转化为 型坐标等式，配合韦达定理整体代入。 【技巧1·垂径转垂直】圆中“弦中点与圆心连线垂直弦”，可把中点、垂直条件直接翻译为 型方程。 【技巧2·直径定理】 ⟺ 在以 为直径的圆上；圆上两点与圆心满足 时，弦 对圆心张直角，中点 满足 ，常常几何化。 【技巧3·韦达整体代】凡涉两交点坐标的对称式（、、），一律用韦达定理整体代入，不要求出具体坐标。 27．已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； (3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 28.设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； (3)设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 29.已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 30.已知直线：与圆：． (1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 2．已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 6．已知圆心为，直线与圆相切于点，则圆的半径长为_____． 7．若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 8．已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 9．已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 10．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 11．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 12．已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 13．已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 14．已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 15．已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 16．已知圆的方程为. (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于两点，且，求的值. 创新提升 1．已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 3．已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 4．若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______． 5．已知平面向量、满足，，存在两个不同的非零实数，使且，则的取值范围为______. 6．已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 7．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 8．如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 9．设直线过点且与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的斜截式方程； (2)设直线过点与直线垂直，与轴分别交于两点，若与的面积相等，求直线的斜率； (3)若圆的圆心在外，且与轴所在直线相切于轴正半轴上，与轴所在直线相切于轴正半轴上，与直线相切于线段上，设，求关于的函数表达式和定义域，并求圆的面积的最小值及取到最小值时的值. 10．已知圆与轴分别相交于，过点的直线交圆异于的两点. (1)当时，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点（异于点），使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点在原直角坐标系下的坐标，若不存在，说明理由； (3)直线与直线相交于，求证：在定直线上. 11．若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 直线与圆综合题型突破 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 直线与圆位置关系的判定 2 题型2 圆的切线问题 4 题型3 直线与圆相交的弦长问题 7 题型4 与圆有关的最值与范围问题 8 题型5 圆与圆的位置关系 13 题型6 直线与圆的综合问题 16 重难专题分层过关练 22 巩固过关 22 创新提升 29 解题方法及技巧提炼 一、直线部分 类型 公式 说明 斜率 倾斜角 点斜式 过点 ，斜率 斜截式 斜率 ，纵截距 两点式 过 截距式 横、纵截距 一般式 不同时为 点到直线距离 点 到直线 平行线间距离 直线 二、圆部分 类型 公式 说明 标准方程 圆心 ，半径 一般方程 圆心 ，半径 一般方程条件 否则不表示圆 点与圆位置 在圆内； 在圆上； 在圆外 ， 为圆心 三、位置关系判定 类型 判定条件 结论 直线与圆（几何法） / / 相交（2个交点）/ 相切 / 相离 直线与圆（代数法） / / 联立消元后一元二次方程判别式 弦长公式 为圆心到直线的距离 圆与圆（圆心距 ） ； 外离；外切 圆与圆（续） ；； 相交；内切；内含 题型通法及变式提升 题型1 直线与圆位置关系的判定 【几何法】求圆心到直线的距离 ，与半径 比较： 相交、 相切、 相离。运算量小，是首选方法。 【代数法】联立直线与圆消元得到一元二次方程，用判别式 判断： 相交（两个交点）、 相切、 相离。适用于判断交点个数或需要联立求交点坐标的问题。 方法 核心步骤 适用场景 运算量 几何法 求圆心到直线距离 ，与 比较 判定位置关系、求切线、求弦长 小 代数法 联立方程，判别式 符号 求交点坐标、与韦达定理配合 较大 【技巧1·过定点】将含参直线整理为“关于参数的一次式”：如 化为 ，令 得定点 。若定点在圆内，则直线与圆恒相交（恒有公共点）；若定点在圆上，则直线与圆恒相交或相切。 【技巧2·临界相切】求参数范围时，“相切”是公共点从无到有、从有到无的临界状态：令 解出临界参数值，再结合图形（或代入特殊值试判）确定开闭方向。 【技巧3·小题快判】选择题中优先几何法：直接算 与 ，一般一分钟内完成；只有题目明确要求“交点个数”或需用韦达定理时再上代数法。 1．“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 2．设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题设，圆心，半径为1，圆心到直线的距离， 若时，，故，则直线l与圆C相交； 若直线l与圆C相交时，，则或； 所以“”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 4．若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 5．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 题型2 圆的切线问题 【圆上点的切线】圆 上点 处的切线方程为 ；圆 上点 处的切线方程为 。 【圆外点的切线】设切线斜率为 ，由圆心到切线距离等于半径 （）列方程解 ；若斜率不存在的情形成立（竖直切线 与圆相切），需单独检验，防止漏解。 【切线长】过圆外点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切线长 （ 为圆心）。 【切点弦】上述两条切线的切点连线 （切点弦）所在直线方程为 （圆 时）；一般圆可用“代一半”法则整体写出。 【技巧1·代一半】写圆上点切线方程的记忆法则：把圆方程中的 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ，常数项不变。例：圆 上点 处切线为 。 【技巧2·垂直半径】切线垂直于过切点的半径：已知切点时可先用斜率关系（）直接写出切线斜率，避免判别式运算。 【技巧3·防漏解】凡“过一点作切线”用斜率法求得的 只有一解时，务必补验竖直直线 是否相切——圆外一点的切线有且仅有两条。 6.已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 【答案】 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为________. 【答案】 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 8．设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 【答案】 【详解】过点作圆的切线有且只有一条， 则点在圆上， 所以，解得， 因为，所以. 9．已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】或 【详解】圆即， 所以圆心为，半径， 过点作圆的切线， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，解得或， 所以切线的方程为或. 10．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 题型3 直线与圆相交的弦长问题 【几何法·垂径定理】设圆心到直线的距离为 ，半径 ，则弦长 。同时圆心与弦中点的连线垂直于弦且平分弦。 【代数法·弦长公式】联立直线与圆消元得 ，设交点 ，则 ，其中 为直线斜率（ 不存在时直接用几何法）。 【技巧1·几何优先】求弦长优先用 ，一步到位；只有在需要结合交点坐标（如向量条件、中点坐标）时才走代数法。 【技巧2·最短弦】圆内过定点的弦中，最长的弦是直径；最短的弦垂直于“圆心与定点连线”。“最短弦”问题的答案通常就是过定点且与该连线垂直的直线。 【技巧3·中点弦】涉及弦中点 时，优先用“圆心与中点连线垂直弦”，即 ，可绕开联立运算。 11．（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】4 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 12．（24-25高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________. 【答案】2 【详解】如图所示， 过原点且倾斜角为的直线斜率为， 故直线方程：，即， 又圆心坐标，半径为， 圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得， 弦长为. 故答案为：2. 13．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为______． 【答案】 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 14.，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 题型4 与圆有关的最值与范围问题 【距离型】圆上点到定直线距离的最值：，（ 为圆心到直线距离；若直线与圆相交则 ）；圆上点到定点 的距离最值为 。 【斜率型】 表示圆上点与原点连线的斜率，相切时取得最值（切线法）； 表示与定点 连线的斜率，同理用切线法。 【截距型】令 （或 型），转化为直线系与圆有公共点： 求出 的范围。 【平方和型】 表示圆上点到原点距离的平方，最值为 ；更一般地 为到定点距离平方。 【技巧1·三角代换】圆 上点可设为 ，把二元最值化为三角最值，配合辅助角公式处理。 【技巧2·几何意义优先】凡能翻译成“距离、斜率、截距”的式子，先用几何意义画图，切线相切处即最值处；避免直接消元求导。 【技巧3·判别式法】若几何意义不明显（如求 、 型），可令 转截距型，或用 与 的关系结合基本不等式。 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 16．（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 17．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 18．（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【答案】7 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. 19．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 题型5 圆与圆的位置关系 【位置判定】设圆心距 ，两圆半径 ： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含。公切线数目依次为 条。 【公共弦】两圆方程相减（消去 、 项）得到一次方程，即公共弦所在直线方程；公共弦长用“其中一个圆＋垂径定理”计算，不联立求交点。 【技巧1·圆系方程】过两圆 与 交点的圆系为 （）。求过两交点且满足附加条件（过某点、圆心在定直线上）的圆时，设圆系方程一步到位。 【技巧2·相减即公共弦】两圆方程相减得到的直线：相交时是公共弦，相切时是公切线，相离时是“根轴”（两圆幂相等的点的轨迹），均可直接使用。 【技巧3·动圆问题】与“圆与定圆内切/外切”相关的动圆圆心轨迹常为圆（定圆圆心为焦点），注意区分内切（）与外切（）。 20.已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【详解】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则， 所以两圆相内切， 故选：D. 21.圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 22.“”是“圆：与圆：有公切线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 若两圆有公切线，则，即，解得或， 所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件. 故选：A. 23.两圆和的公共弦长为________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 24.已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 【答案】 【详解】设的圆心坐标为， 由圆方程得到其圆心为，； 因为圆与圆外切于点，所以， 即，即， 又因为三点共线，所以，故，得代入，得到， 所以. 又因为圆与圆外切于点， 所以与在原点同侧，所以 ，所以， 当时，，此时. 故答案为： 25．（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 26．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 题型6 直线与圆的综合问题 【求轨迹】直译法（建系设点，把几何条件坐标化）；定义法（识别圆、椭圆等定义）；相关点法（设动点 与已知曲线上的点 的关系，反解 代入原方程）。 【定点定值】引入参数（如直线斜率 ），联立得交点坐标（或直接利用韦达定理），把目标量表示为参数的表达式，再令“参数部分系数为零”得定点、化简得定值。 【向量交汇】把 、 等转化为 型坐标等式，配合韦达定理整体代入。 【技巧1·垂径转垂直】圆中“弦中点与圆心连线垂直弦”，可把中点、垂直条件直接翻译为 型方程。 【技巧2·直径定理】 ⟺ 在以 为直径的圆上；圆上两点与圆心满足 时，弦 对圆心张直角，中点 满足 ，常常几何化。 【技巧3·韦达整体代】凡涉两交点坐标的对称式（、、），一律用韦达定理整体代入，不要求出具体坐标。 27．已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； (3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 【详解】（1）将代入方程可得，即点， 圆的圆心为，半径为， 由平面内两点间的距离公式可得， 因为直线切圆于点，则， 因为，且为锐角，故，故. (2)设，因为，所以圆的一条直径为，且点， 圆的半径为， 故圆的方程为， 即， 由，解得或， 所以圆经过定点和.    (3)因为， 所以以点为圆心，半径为的圆的方程为， 即，    直线可视为圆与圆公共弦所在的直线， 将圆的方程与圆的方程作差， 可得直线的方程为， 由得，故直线过定点. 28.设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； (3)设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【详解】（1）圆的圆心，半径. （2）当时，圆的圆心，半径， 连接，取中点，连接，，又为弦的中点， 当与不重合时，，为直角三角形，则， 当与重合时，，因此， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在圆内， 所以弦的中点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧.    （3）圆的圆心，半径，点， 直线恒过定点，由直线恒与圆相交于、两点， 得点在圆内，则，又，解得， 所以正实数的取值范围是； 直线，由消去得，， 设，则， ，由为锐角，得， 即，整理得， 则，又，整理得，解得， 显然不共线，所以实数的取值范围是.    29.已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 30.已知直线：与圆：． (1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【详解】(1)证明：由直线：， 得， 联立，解得， 所以直线恒过定点； （2）由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线恒过定点， 当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （3）由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 2．已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 3．已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以， 故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 4．已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 5．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 6．已知圆心为，直线与圆相切于点，则圆的半径长为_____． 【答案】 【详解】由题意，直线的斜率为2， 则，解得，即， 则圆的半径长为. 故答案为：. 7．若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 【答案】且， 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且， 8．已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 【答案】 【详解】图形如下所示，设，， 则到直线和直线的距离之和为 由辅助角公式， 所以当，即时有最小值. 9．已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 【答案】 【详解】圆C：的圆心，半径， 设点关于直线l：的对称点为， 由，解得，即点， ， 当且仅当为线段的中点时取等号， 所以折线ABP的最短长度是. 故答案为： 10．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 11．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 12．已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【详解】（1）解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 13．已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 【详解】（1）变形为， 令 ，解得，即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径，点到圆心的距离平方：， 故点在圆内部，因此圆与直线恒相交． （2）因为直线过圆内定点，圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小， ，由垂径定理可得最短弦长为 ． 14．已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 【详解】（1）将代入， 得，故. 当直线过原点时，设方程为，代入得，方程为. 当直线不过原点时，设方程为，代入， 得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）对，整理为， 令，故定点. 对，令得，故定点. 圆以为直径，圆心为，半径，方程为. 设过的直线为，即. 由相交条件得，， 两边平方并化简得， 解得或， 所以斜率范围是. 15．已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）由题意，解得或， 时，两直线方程都是，重合，不合题意； 时，两直线方程为，，平行． 所以； （2）由， 可得， 所以圆，半径为， 因为与圆：的相交弦长为， 所以圆心到直线：的距离， 即， 解得：， 即直线方程为：. 16．已知圆的方程为. (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于两点，且，求的值. 【详解】（1）依题意，圆的方程可化为，所以，解得，所以实数的取值范围是； （2）由（1）知，圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为； 所以，解得. 创新提升 1．已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，为等边三角形，因为点为线段的三等分点， 不妨取，由余弦定理得，， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 由动点可知，均为直线上的动点， 因为，所以，则， 要使，所以点在以为直径的圆上，则圆与圆有公共点； 又原点到直线的距离为， 当圆的圆心为直线上离原点最近的点，且两圆外切时， 圆的半径取得最小值， 所以，的中点为直线上的动点，，故对任意的取值，总存在，故圆与圆有公共点，故无最大值， 故的取值范围为. 故选：C. 2.已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 3．已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由，可得， 化简可得：， 配方可得， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， 令，则表示点与点连线的斜率， 设过点且与圆有公共点的直线方程为， 则圆心到直线的距离，即， 解得，所以， 即， 故答案为： 4．若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______． 【答案】 【详解】函数的定义域满足，解得，即， 则函数为偶函数， 又，整理得，则函数的图像为： 以为圆心，为半径的上半圆与以为圆心，为半径的上半圆， 函数为偶函数，图象为先减后增的“V”型图，最低点为， 则的图像大致如下： 由于的图像关于轴对称，要使得覆盖圆的半径最小，则覆盖圆的圆心在轴上， 设，且，覆盖圆的半径为， 设点在半圆上，满足三点共线， 则， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上可得，故的最小值为. 故答案为：. 5．已知平面向量、满足，，存在两个不同的非零实数，使且，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】设，，， 则由可知在过原点且以为方向向量的直线上， 又的角平分线向量为且， 可知在平分线所在直线上， 又，且,,则得. 设点，，则，因为， 所以且，即. 此时中点（圆心）坐标为， 半径， 因为是直线与圆的两个交点， 所以表示弦长， 而到角平分线的距离为， 所以弦长， 其中， 所以的取值范围是. 故答案为：.    6．已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 7．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【详解】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 8．如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 【详解】（1）当直线过圆心时，，解得， ，． （2）直线与圆相切，，设直线的斜率为，则，故， 直线的方程为，整理得，且， 圆心到直线的距离， 记，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，解得， 当时，，此时弦长最短， 由弦长公式得． （3），设，则，， 设点到直线的距离为，则①， （i）如图，当点在直线的同侧时，②， 联立①②解得或， 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，故满足条件的点有2个， ，即，联立，无解； 联立或， 满足条件的点即为； 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个， ，即，联立或； 联立（不合题意，舍去）； 满足条件的点即为； （ii）如图，当点，在直线异侧时，③ 联立①③解得（舍）或（舍），满足条件的点不存在， 综上，满足条件的点共有4个，即为，． 9．设直线过点且与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的斜截式方程； (2)设直线过点与直线垂直，与轴分别交于两点，若与的面积相等，求直线的斜率； (3)若圆的圆心在外，且与轴所在直线相切于轴正半轴上，与轴所在直线相切于轴正半轴上，与直线相切于线段上，设，求关于的函数表达式和定义域，并求圆的面积的最小值及取到最小值时的值. 【详解】（1）设直线的斜率为，则， 当时，，当时，， （舍）， 则直线的方程为. （2）由（1）知， 因为直线过点与直线垂直，则直线的斜率为， 则直线的方程为， 当时，，当时，，则， 因为与的面积相等，所以， 故，解得（舍），，则直线的斜率为3. （3）易知圆的半径为， 如图，设圆与轴切点为，与轴切点为，与直线的切点为， 连接，则， ， 设，则， ， ， 设直线的方程为，其中， 因为直线经过，所以有， 化简得，令，即， ， ， 当且仅当，即时，取最小值， 此时的最小值为. 10．已知圆与轴分别相交于，过点的直线交圆异于的两点. (1)当时，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点（异于点），使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点在原直角坐标系下的坐标，若不存在，说明理由； (3)直线与直线相交于，求证：在定直线上. 【详解】（1）易知直线的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离为， 又，即， 解得，所以直线的方程为. （2）由（1）可知直线的方程为，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设，其中，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，易得， ，解得，则， (3)证明如下： 由题意知，设， 易知直线的斜率不为0，设，即， 与圆联立方程，， 则的斜率为，直线方程为①， 同理的斜率为，直线方程为②， 联立方程①②，可得 ， 则在定直线上. 11．若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $