第8章 第1讲 直线的方程(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦直线的方程专题，涵盖倾斜角与斜率的概念及计算、直线方程五种形式的应用等核心考点，按定义-公式-应用逻辑梳理知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破重点难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如通过倾斜角范围分类讨论、直线方程形式转化训练逻辑推理与规范表达，设置判断正误、改编真题、分层练习等教学活动。在直线过定点及面积最值问题中，引导学生用数学眼光发现规律，通过即时反馈与方法归纳，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第1讲　直线的方程 课标要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　3.掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式). 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180°． 2．直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角为θ，且θ≠90° k＝tan θ 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 k＝ 直线的一个方向向量的坐标为(x，y)，且x≠0 k＝ 提醒　如果y2＝y1且x2≠x1，则直线l与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线l与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在． 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (其中A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 常用结论　 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量为a＝(－B，A). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平面直角坐标系内，任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　) (5)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(选择性必修第一册P67T1(2)改编)已知直线l过点(1，1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　) A．x＋y＝1 B．x－y＝1 C．y＝1 D．x＝1 解析：选D.因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线的斜率不存在，即直线l与x轴垂直，又因为直线l过点(1，1)，所以直线l的方程为x＝1. 3．(用结论)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　) A.k1<k2<k3 B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 解析：选D.由题图可知，l2，l3的倾斜角为锐角，且l2比l3的倾斜程度大，l1的倾斜角为钝角，故k1<k3<k2. 4．(选择性必修第一册P62 T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程为_____________________________． 解析：由题意得，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0 5．若直线过坐标平面内两点(4，2)，(1，2＋)，则此直线的倾斜角是________． 解析：由题意知直线的斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为150°. 答案：150° 考点一　直线的倾斜角与斜率 　(1)(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　) A．直线l的斜率为－ B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3) (2)已知过点P(1，0)斜率存在的直线l与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为__________________________． 【解析】　(1)由x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率k＝－，倾斜角为，故A正确，B错误； 由直线y＝－x＋2知其斜率k<0，纵截距b＝2>0，所以直线l经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C错误； 取直线l上两点A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－，3)，故D正确． (2)如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l的斜率kl∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).　 【答案】　(1)AD　(2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞) 【感悟进阶】　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论． 　(2026·新余模拟)已知直线l的方程为y＝(－a2＋1)x＋b，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A． B． C．∪ D．∪ 解析：选D.直线l的斜率k＝－a2＋1≤1，设该直线的倾斜角为θ，则tan θ≤1，又因为0≤θ<π，故θ∈[0，]∪(，π). 考点二　直线的方程 　求适合下列条件的直线方程． (1)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形； (2)经过点A(－1，－3)，倾斜角为直线y＝3x的倾斜角的2倍． 【解】　(1)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点B(3，4)，由点斜式，得y－4＝±(x－3).故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. (2)设直线y＝3x的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3， 所以tan 2α＝＝－. 又直线经过点A(－1，－3)， 故所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. 【感悟进阶】　求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定直线方程的形式，直接写出直线方程． (2)待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由已知条件建立所求参数的方程(组)；③解方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设的直线方程． 　1.若直线的截距式方程＋＝1化为斜截式方程为y＝－2x＋b，化为一般式方程为bx＋ay－8＝0(a＞0)，则a－b＝(　　) A．－2 B．2 C．6 D．8 解析：选A.易知ab≠0，由y＝－2x＋b，得2x＋y－b＝0.由已知一般式方程为bx＋ay－8＝0(a＞0)，所以有＝＝，则b2＝16，解得b＝±4，又a＞0，a＝b，所以a＝2，b＝4，则a－b＝－2. 2．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　) A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0 C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0 解析：选A.设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)， 则有且解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1， 即C(－5，－3)，M(0，－)，N(1，0)， 所以MN所在直线的方程为＝， 即5x－2y－5＝0. 考点三　直线方程的综合应用 　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 【解】　(1)证明：直线l的方程可化为 k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1). (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线l不经过第四象限，则必须有 解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞). (3)由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A(－，0)，B(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. 因为S＝|OA|·|OB| ＝··|1＋2k| ＝·＝(4k＋＋4) ≥×(2＋4)＝4， 当且仅当k>0，且4k＝， 即k＝时，等号成立，所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 【感悟进阶】　(1)直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点． (2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． 　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)· (＋)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $