第8章 第1讲 直线的方程 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦直线方程核心素养，以题载法构建从概念到综合应用的完整训练体系，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|方向向量共线判定、倾斜角转化、截距符号分析|从直线方程形式到几何性质的逻辑链| |综合应用|9题|旋转斜率计算、面积分割、参数方程构建|通过典例呈现方程思想与几何直观的融合|

1．(2026·临沂模拟)直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　) A．(2，3) B．(3，2) C．(2，－3) D．(3，－2) 解析：选B.2x－3y＋1＝0可化为y＝x＋，所以该直线的一个方向向量为(1，)，因为(3，2)＝3(1，)，所以向量(3，2)与向量(1，)是共线向量，其他选项的向量与向量(1，)不是共线向量． 2．已知直线l经过点(－，0)，倾斜角是直线x＝－1的倾斜角的，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋＝0 B．x－y＋＝0 C．x－y＋3＝0 D．x＋y＋＝0 解析：选A.因为直线x＝－1的倾斜角为90°，所以直线l的倾斜角为30°，直线l的方程为y－0＝tan 30°[x－(－)]，即x－y＋＝0. 3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0 解析：选C.因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，所以a≠0，b≠0，该直线的斜率为－<0，可得a>0，该直线在y轴上的截距为－>0，可得b<0. 4．(2026·宿州期末)将直线l1：x＋5y－1＝0绕点(1，0)顺时针旋转得到直线l2，则l2的方程是(　　) A．x－5y－1＝0 B．5x＋y－5＝0 C．x－y－1＝0 D．5x－y－5＝0 解析：选D.由题意可知，直线l1与l2垂直，且直线l1的斜率为－，所以直线l2的斜率为5.又因为l2过点(1，0)，所以直线l2的方程为y＝5(x－1)，即5x－y－5＝0. 5．若直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A．(0，] B．[0，]∪(，π) C．[0，] D．[0，]∪[，π) 解析：选B.由题意可得，直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线l的倾斜角的取值范围为[0，]∪(，π). 6．(多选)已知直线l的方程为x＝my＋1，则(　　) A．直线l恒过定点(1，0) B．直线l的斜率必定存在 C．当m＝时，直线l的倾斜角为 D．当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 解析：选AD.因为直线l的方程为x＝my＋1，把(1，0)代入得1＝0×m＋1，恒成立，故A正确；当m＝0时，直线方程为x＝1，直线的斜率不存在，故B错误；当m＝时，直线l的方程为y＝x－，直线的斜率k＝＝tan ，所以直线l的倾斜角为，故C错误；当m＝2时，直线l的方程为x＝2y＋1，则直线与x轴的交点为(1，0)，与y轴的交点为(0，－)，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×|－|＝，故D正确． 7．若倾斜角为的直线过点(1，3)和(2，m)，则实数m＝________． 解析：因为直线的倾斜角为，所以直线斜率k＝tan ＝，则k＝＝，解得m＝3＋. 答案：3＋ 8．已知A(1，6)，B(2，10)，C(3，16)，D(4，21)中有三个点在直线l：y＝kx＋m上，则km＝________．　 解析：由题意可得kAC＝＝5，kAD＝＝5，且直线AC，AD有公共点A，所以点A，C，D在同一条直线上，且该直线方程为y－6＝5(x－1)，即y＝5x＋1，又点B(2，10)不在直线y＝5x＋1上，故直线l的方程为y＝5x＋1，所以k＝5，m＝1，所以km＝51＝5. 答案：5 9．(13分)求满足下列条件的直线方程． (1)直线过点A(1，2)，倾斜角α的正弦值为；(4分) (2)直线过点B(1，4)且在两坐标轴上的截距之和为零；(4分) (3)直线过点P(－1，0)且与直线l1：x－y＋2＝0的夹角为.(5分) 解：(1)因为sin α＝，所以cos α＝±，斜率k＝tan α＝±， 则所求直线方程为y－2＝±(x－1)， 即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0. (2)方法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，因为直线过点B(1，4)，所以－＝1，解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0.综上，所求直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0. 方法二：由题意知，直线斜率存在且不为0.设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)，当x＝0时，y＝4－k，当y＝0时，x＝1－.由题意知1－＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0. (3)由题意知，直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝，则β＝， 因为所求直线与直线l1的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或. 当所求直线的倾斜角为时，直线方程为x＝－1； 当所求直线的倾斜角为时，直线方程为y＝(x＋1)，故直线方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或x－y＋1＝0. 10．已知A(2，3)，B(－1，2).若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　) A．1 B． C．－ D．－3 解析：选C.设Q(3，0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，因为点P(x，y)是线段AB上的任意一点，所以的取值范围是[－3，－]，故的最大值为－. 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(2，3) B．直线y＋1＝2x在y轴上的截距为1 C．点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是 D．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线 解析：选AC.直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A正确； 直线y＋1＝2x即y＝2x－1，在y轴上的截距为－1，B错误； 直线l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0，则直线l过定点C(1，1)，且与线段AB相交，画出直线l与线段AB的图象如图所示，其中kAC＝＝－4， kBC＝＝，直线l的斜率为－m，所以－m≥或－m≤－4， 解得m≤－或m≥4，C正确； 方程k＝不含点(－1，2)，D错误． 12．设A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线x＝m将△ABC的面积平分，则m的值是________． 解析： 设直线x＝m与边AB，AC分别交于点D，E. 由S△ABC＝， 得S△AED＝. 又直线AC的方程为＋＝1，而点E在边AC上，故可设E(m，3－)，由图易知m＞0. 因为S△AED＝··m＝，所以m＝. 答案： 13．(15分)已知O为坐标原点，A(－1，2)，过点A且斜率为k的直线l与x轴负半轴及y轴正半轴分别交于点B，C. (1)求|AB|·|AC|的最小值；(7分) (2)若△OBC的面积为S，且对于每一个S的值满足条件的k值只有2个，求S的取值范围．(8分) 解： (1)因为过点A(－1，2)且斜率为k的直线l与x轴负半轴及y轴正半轴分别交于点B，C，如图所示，可得斜率k>0，设直线l的倾斜角为θ(0<θ<)， 则sin θ＝，cos θ＝， 所以|AB|＝，|AC|＝， 可得|AB|·|AC|＝＝， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，|AB|·|AC|取得最小值4. (2)根据题意，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即y＝kx＋k＋2，可得B(－，0)，C(0，k＋2)，所以S＝××|k＋2|，整理得k2＋(4－2S)k＋4＝0. 因为对于每一个S的值满足条件的k值只有2个，所以该方程有2个不同的正根， 则满足解得S>4，所以S的取值范围是(4，＋∞). 14．(2026·浏阳质量监测)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋1＝0 解析：选C.由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，可知△ABC的重心坐标为(，)，即点(1，1).由题易知BC⊥AB，所以△ABC的外心为斜边AC的中点(，)，即点(0，)，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $