第7章 [微拓展] 三垂线定理(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义围绕三垂线定理及其逆定理，系统梳理空间中直线与直线、直线与平面垂直关系的判定，通过定理解析、技法点拨、典型例题（如正方体中A₁C⊥BC₁的证明）及分层练习，构建“定理理解-射影分析-垂直判定”的解题逻辑链，帮助学生突破立体几何垂直证明难点。 资料以“找垂线、定射影、证垂直”为突破策略，通过正方体、直角梯形等典型几何模型，培养学生的空间观念与逻辑推理能力。设置基础巩固（如菱形判定）、能力提升（如直三棱柱中A₁C⊥平面ABC₁的证明）分层练习，配合即时技法总结，确保高效掌握垂直证明通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　三垂线定理 1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2.三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和该平面内一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．,如图，若点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A；过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的射影，则a⊥OA⇔a⊥PA. 　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥BC1. 　　　 (2)如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD. 求证：PC⊥CD. 【证明】　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是平面BCC1B1的一条斜线，所以B1C是A1C在平面BCC1B1上的射影，又B1C⊥BC1，由三垂线定理知A1C⊥BC1. (2)连接AC(图略)， 因为∠ABC＝90°，AB＝BC，由勾股定理得AC＝AB，同理CD＝AB， 即AC2＋CD2＝4AB2＝AD2， 所以AC⊥CD. 又PA⊥平面ABCD，PC是平面ABCD的一条斜线，AC是PC在平面ABCD上的射影，且AC⊥CD，由三垂线定理知PC⊥CD. 【技法点拨】　三垂线定理解题的关键：一找直线和平面垂直，二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直． 注意　由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件． 　1.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状为________． 解析： 由于PA⊥平面ABCD，则PC在平面ABCD内的射影是AC， 又BD⊂平面ABCD，且PC⊥BD，所以BD⊥AC，又四边形ABCD是平行四边形，所以平行四边形ABCD是菱形． 答案：菱形 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC＝AA1.求证：A1C⊥平面ABC1. 证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥AB， 又AB⊥AC，A1A∩AC＝A，A1A，AC⊂平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，则斜线BC1在平面ACC1A1内的射影为AC1， 因为AC＝AA1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1且A1C⊂平面ACC1A1，由三垂线定理可得，A1C⊥BC1， 又BC1∩AC1＝C1，BC1，AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1. 学科网（北京）股份有限公司 $