第7章 一题一课 深析球的切、接(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦球的切接问题这一高考热点，涵盖棱切球与多球相切两大核心考点，以母题延伸探究的逻辑架构梳理知识内在联系，通过考点梳理、技法点拨（如空间问题平面化转化）、真题讲解（2025全国二卷等）及分层练习，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义特色在于以数学思维（推理能力）和数学眼光（空间观念）为导向，如正三棱锥棱切球问题中通过作截面图转化平面问题，配合多球相切模型分析，设置基础探究与真题演练分层训练，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

球的切、接问题是高考的热点内容，常以客观题的形式出现，近年考查球的切、接问题有所变化，一是与多面体的棱相切，二是多球相切，解决此类问题的关键是平面化或转化为特殊几何体的切、接问题来解决． 人教 A版必修第二册P119例4 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 感悟　母题围绕球与圆柱，展现了通过几何体基本参数与公式研究体积关系的思路；由此可延伸出棱切球(如正方体的棱切球，需结合面对角线等研究体积关系)、多球相切(如多等径球外切时，利用球心距与半径的关系，结合几何体性质求解相关问题)，下面让我们对棱切球、多球相切进行探究！ 探究一　球与几何体棱相切 　已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为2，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的半径为________． 【解析】　 设底面ABC的外接圆的圆心为O，连接PO，AO，延长AO交BC于点N，球H与棱PA，BC分别切于点M，N，连接HM，HN，设球H的半径为r， 则AO＝××2＝2， ON＝×2－2＝1， 而PO⊥底面ABC，所以PO⊥AO， 可得PO＝＝2， 在Rt△ONH中，OH＝，1＜r＜2， 在Rt△PMH中，PM＝MH＝r，PH＝r， 所以PO＝PH＋OH，即有2＝r＋，解得r＝2－. 【答案】　　2－ 【技法点拨】　对于球与空间几何体的棱相切的问题，一般过球心及多面体的特殊点(一般为切点)或线作截面图构建等量关系，把空间问题转化为平面问题求解． 探究二　多球相切 　(1)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________ cm. (2)(2026·合肥模拟)某零件的结构模型如图，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切．若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为________． 【解析】　 (1)当两个铁球如图放置时，铁球半径最大．圆柱的底面半径为4 cm，设铁球的半径为r，且r＜4，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r＜4，所以r＝2.5. (2)如图所 示，设O为大球的球心，大球的半径为R，正四面体的底面中心为E，高为h，CD的中点为F，连接OA，OB，OC，OD，OE，BF，因为棱长AB＝12，则BE＝BF＝××12＝4，h＝AE＝＝4，因为V正四面体ABCD＝4V三棱锥O-BCD，所以S△BCD·h＝4×S△BCD·R，所以R＝h＝，设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－2R＝2，所以r＝h小＝×2＝，所以小球的体积为πr3＝π×()3＝π. 【答案】　　(1)2.5　(2)π 【技法点拨】　处理多球相切问题的核心是抓住“球心距与球半径的关系”，并结合空间几何体(正多面体、坐标系等)的性质来分析和计算． 1．已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为(　　) A． B． C． D． 解析：选A. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，所以四面体A1-BDC1是棱长为2的正四面体，当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为1，所以该球的体积为，因为正四面体的体积为8－4×××2×2×2＝8－＝，所以该球与此正四面体的体积之比为＝. 2．(2026·连云港期中)已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为(　　) A．π B．π C．49π D．98π 解析：选C.如图，作出符合题意的图形， 设三个半径为3的白球的球心分别为A，B，C，红球半径为r，球心为D， 连接AB，BC，AC，AD，BD，CD， 则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G，连接DG，BG， 可得BG＝×＝2， 三棱锥D-ABC为正三棱锥，侧棱DB＝r＋3， 设黑球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上，连接OB，要使黑球与四个小球都内切，则OD＝7－r，OB＝7－3＝4， 所以OG＝＝2， 又因为BG2＋DG2＝BD2，所以12＋(2＋7－r)2＝(r＋3)2，解得r＝， 则红球的表面积S＝4πr2＝49π. 3．(2025·河北“五个一”名校联盟联考)如图，一个半球容器(有盖)的半径为10分米，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为r分米的球，则r的最大值为________． 解析：由题意可知，当两个球外切且均与半球相切(与球面相切，且与半球的盖所在平面相切)时，r取得最大值，相当于求半径为10分米的四分之一球的内切球，如图，由r＋r＝10，解得r＝10(－1). 答案：10(－1) 学科网（北京）股份有限公司 $