第7章 第9讲 空间向量的应用(二)(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，覆盖异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面夹角三大高考核心考点，严格对标课标要求。知识点按“概念辨析—公式推导—真题应用”逻辑架构，通过判断正误题巩固基础认知，典型例题详解向量法解题步骤，分层练习题提升应用能力，形成完整复习链条。 讲义采用“情境建模+向量运算”教学策略，如在直三棱柱问题中引导学生建立空间直角坐标系，通过方向向量与法向量运算求角，培养数学思维与空间观念。设置基础判断、中档例题、综合应用三级训练，配合即时方法总结，帮助学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第9讲　空间向量的应用(二) 课标要求　会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，体会空间向量在研究立体几何中的作用． 1．异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝. 2．直线与平面所成的角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝. 3．平面与平面的夹角 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．40° B．50° C．130° D．以上均错 解析：选A.因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°. 3．已知平面α的一个法向量为n1＝(，－，－)，平面β的一个法向量为n2＝，则平面α与平面β的夹角为(　　) A．120° B．30° C．60° D．30°或150° 解析：选B.cos 〈n1，n2〉＝＝－， 设平面α与平面β的夹角为θ，0°≤θ≤90°， 则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°. 4．(选择性必修第一册P38T1改编)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，BC＝CA＝CC1，则AC1与CB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D．－ 解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1，0，0)，C1(0，0，1)，C(0，0，0)，B1(0，1，1)，所以1＝(－1，0，1)，1＝(0，1，1)， 则cos 〈，〉＝＝， 故AC1与CB1所成角的余弦值为. 考点一　异面直线所成的角 　(2026·南昌摸底考试)如图，圆锥PO的轴截面PAB是边长为4的等边三角形，C是OB的中点，D是底面圆周上一点，∠DOC＝. (1)求DC的值； (2)求异面直线PA与DC所成角的余弦值． 【解】　(1)在△OCD中，OD＝2，OC＝1，∠DOC＝，由余弦定理得DC2＝OD2＋OC2－2OD·OC cos ∠DOC，解得DC＝. (2)以O为坐标原点，过点O且垂直于平面PAB的直线为x轴，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－2，0)，P(0，0，2)，C(0，1，0)，D(，－1，0)， 所以＝(0，2，2)，＝(－，2，0). 设异面直线PA与DC所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. 【感悟进阶】　用向量法求异面直线所成的角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|＝求解． 　1.(2025·湖北部分高中协作体模拟)将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A. 取BD的中点O，连接OA，OC，由题意得OB，OA，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB＝， 则A(0，0，1)，D(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，－1，0)， 所以cos 〈，〉＝＝＝－.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 2．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，棱AB，SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝(　　) A．2 B． C．4 D．1 解析：选C. 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设SD＝t(t＞0)，则B(2，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，t)，E(2，1，0)，F(0，1，)，所以＝(－2，1，0)，＝(－2，－1，). 因为直线EC与BF所成角的余弦值为， 所以|cos 〈，〉|＝＝＝，解得t＝4(负值已舍去)，即SD＝4. 考点二　直线与平面所成的角 　(2025·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为线段BC的中点． (1)若F，G分别为线段PD，PE的中点，证明：FG∥平面PAB； (2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值． 【解】　(1)证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN，MN，GM， 因为△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，不妨设AD＝CD＝2， 所以AC＝AB＝2，所以BC＝4， 因为E，F，G分别为BC，PD，PE的中点， 所以FN＝AD＝1，BE＝2， 所以GM＝BE＝1＝FN， 因为∠DAC＝45°，∠ACB＝45°， 所以AD∥BC，所以FN∥GM，所以四边形FGMN为平行四边形，所以FG∥MN， 因为FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，所以FG∥平面PAB. (2)由PA⊥平面ABCD，∠BAC＝90°，易知AC，AB，AP两两垂直． 以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝CD＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，D(，－，0)，P(0，0，2)，所以＝(0，2，0)，＝(，，0)，＝(－2，0，2). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1). 设AB与平面PCD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝ ＝＝， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 【感悟进阶】　利用空间向量求线面角的解题步骤 注意　线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值． 　(2026·湖北十一校联考) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且＝λ，0＜λ＜1. (1)当λ＝时，求证：A1E⊥平面BDE； (2)当λ＝时，求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为D为AC的中点，且△ABC为正三角形，所以BD⊥AC. 设A1C1的中点为D1，连接DD1， 因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以DD1⊥平面ABC. 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系，则A1(0，－1，3)，B(，0，0)，D(0，0，0)，E(0，1，2)， ＝(0，2，－1)，＝(，0，0)，＝(0，1，2). 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则得x＝0，取z＝－1，得y＝2，则n＝(0，2，－1)，所以＝n， 所以A1E⊥平面BDE. (2)当λ＝时，CE＝1，C1E＝2，tan ∠A1EC1＝1，tan ∠DEC＝1， 则∠A1EC1＋∠DEC＝90°， 所以∠A1ED＝90°，即A1E⊥DE. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，又平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，又BD⊥AC， 所以BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1E. 因为BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以A1E⊥平面BDE. 取A1C1的中点D1，连接DD1，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，－1，0)，A1(0，－1，3)，B(，0，0)，E(0，1，1)，＝＝(－，－1，0). 由A1E⊥平面BDE，得平面BDE的一个法向量是＝(0，－2，2). 记直线A1B1与平面BDE所成的角为α，则sin α＝|cos 〈，〉|＝＝，所以直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值是. 考点三　平面与平面的夹角(二面角) 　(2025·天津卷节选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，B1C1的中点，CG＝3C1G. (1)求证：GF⊥平面EBF； (2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值． 【解】　(1) 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则G(0，4，3)，F(2，4，4)，E(2，0，4)，B(4，4，0)，＝(2，0，1)，＝(0，4，0)，＝(－2，0，4)， 所以·＝0，·＝0，即GF⊥EF，GF⊥BF. 又EF∩BF＝F，EF⊂平面EBF，BF⊂平面EBF，所以GF⊥平面EBF. (2)由(1)知平面EBF的一个法向量为＝(2，0，1). 设平面EBG的法向量为n＝(x，y，z)， 则 又＝(－2，4，－1)，＝(－4，0，3)， 故 可取x＝6，则y＝5，z＝8，故n＝(6，5，8). 因为cos 〈，n〉＝＝＝，所以平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为. 【感悟进阶】　利用空间向量求二面角的两种常用方法 　(2026·上海模拟) 如图，已知一个由半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为半圆弧A1B1上的动点(P与A1，B1不重合). (1)证明：平面PA1B1⊥平面PBB1； (2)若四边形ABB1A1为正方形，且AC＝BC＝1，∠PB1A1＝，求二面角P-A1B1-C的余弦值． 解：(1)证明：在半圆柱内，BB1⊥平面PA1B1，因为BB1⊂平面PBB1， 所以平面PA1B1⊥平面PBB1. (2) 根据题意以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AC＝BC＝1，∠PB1A1＝，所以C(0，0，0)，A1(0，1，)，B1(1，0，)，P(1，1，)， 所以＝(0，1，)，＝(1，0，)， 易知平面PA1B1的一个法向量为n1＝(0，0，1)， 设平面CA1B1的法向量为n2＝(x，y，z)， 则令z＝1，则x＝－，y＝－，所以n2＝(－，－，1)，所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝， 由图可知，二面角P-A1B1-C为钝二面角， 所以二面角P-A1B1-C的余弦值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $