第7章 第8讲 空间向量的应用(一) 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦空间向量在立体几何中的应用，以坐标系构建为核心，系统整合向量运算与几何位置关系、距离计算的逻辑链条，体现数学眼光的空间观念与数学思维的推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基础应用|5题|法向量/方向向量判定垂直平行；向量共线/数量积运算|向量概念→运算规则→几何位置关系转化| |距离计算|4题|点线距公式；点面距公式；面面距公式|向量模长→投影向量→距离公式推导| |综合证明与探究|5题|坐标系建立；参数方程；对称点转化|基础运算→复杂场景建模→数学语言表达应用|

1．已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x＝(　　) A．－7 B．－1 C．1 D．7 解析：选D.由α⊥β，得n1⊥n2，所以n1·n2＝－3＋x－4＝0，解得x＝7. 2．在空间直角坐标系中，平面α的法向量为n＝(1，0，－2)，直线l的方向向量为a＝(－2，0，4)，直线m的方向向量为b＝(4，3，2)，则下列结论中正确的是(　　) A．l∥α且m⊥α B．l⊥α且m∥α C．l⊥m且l⊥α D．l⊥m且m⊂α 解析：选C.因为n＝(1，0，－2)，a＝(－2，0，4)，b＝(4，3，2)，所以a＝－2n，a·b＝－2×4＋0×3＋4×2＝0，即a∥n，a⊥b，所以l⊥α，l⊥m，无法判断m与α的位置关系． 3．(2026·洛阳阶段考试)已知直线l的方向向量为n＝(3，0，3)，且直线l过点M(1，－1，－1)，则点N(1，1，a)到直线l的距离的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．6 解析：选B.与向量n同向的单位向量u＝n＝(3，0，3)＝(，0，)，则直线l的单位方向向量为u. 设a＝＝(0，2，a＋1)，则点N到直线l的距离为 ＝ ＝， 易知当a＝－1时，点N到直线l的距离取得最小值，最小值为2. 4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上的一点，且A1C⊥EF，则＝(　　) A．10 B．12 C．15 D．20 解析：选C. 取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC，EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，EC，EB，EE1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则E(0，0，0)，C(，0，0)， A1(0，－，2)，＝(，，－2). 设F(0，，λ)(0≤λ≤2)， 则 ＝(0，，λ). 由A1C⊥EF，得 ·＝－2λ＝0， 解得λ＝，故＝＝15. 5． 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选B. 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1). 设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝4，则y＝3，z＝12，所以n＝(4，3，12).所以点P到平面BQD的距离d＝＝. 6． (多选)(2025·湘豫名校联考模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，O是BC1与B1C的交点，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则(　　) A．＝＋＋ B．||＝ C．AO⊥平面A1BC D．点B1到平面A1BC的距离为 解析：选BC.设＝a，＝b，＝c. 对于A，＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋(－) ＝＋＋，故A错误； 对于B，因为＝＋＋＝a＋b＋c， 所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝×(1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×)＝，则||＝，故B正确； 对于C，因为·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝(a2－c2＋a·b－b·c)＝×(1－1＋－)＝0， 所以AO⊥A1B，同理，可得AO⊥A1C，又A1B∩A1C＝A1，A1B，A1C⊂平面A1BC， 所以AO⊥平面A1BC，故C正确； 对于D，由选项C知，AO⊥平面A1BC，所以为平面A1BC的一个法向量，·＝(a＋b＋c)·c＝(a·c＋b·c＋c2)＝×(＋＋1)＝1，所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝＝，故D错误． 7．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是 ____________． 解析： 如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b，由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.因此＝＋，所以与，共面．又因为VA⊄平面PMN，所以VA∥平面PMN. 答案：平行 8．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为________． 解析：由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0).设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则 即取x＝1， 得n＝(1，3，－4)，又平面α∥平面β， 所以平面α与平面β间的距离d＝＝＝. 答案： 9．(13分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点． (1)求点N到直线AB的距离；(6分) (2)求点C1到平面ABN的距离．(7分) 解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)， B(2，2，0)，C(0，4，0)， C1(0，4，4)， 因为N是CC1的中点， 所以N(0，4，2). (1)＝(0，4，2)，＝(2，2，0)， 则||＝2，||＝4. 设点N到直线AB的距离为d1， 则d1＝ ＝＝4. (2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)， 则由n⊥，n⊥， 得 令z＝2，则y＝－1，x＝， 即n＝(，－1，2). 易知＝(0，0，－2)， 设点C1到平面ABN的距离为d2， 则d2＝＝＝. 10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，直线AC1⊥平面A1BM，则点M的位置是(　　) A．点D B．点D1 C．DD1的中点 D．不存在 解析：选A. 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，M(0，0，t)，0≤t≤1，则A(1，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)， 所以＝(－1，1，1)，＝(－1，－1，t). 因为直线AC1⊥平面A1BM，BM⊂平面A1BM，所以AC1⊥BM，所以·＝0，即－1×(－1)＋1×(－1)＋1×t＝0，解得t＝0，此时点M与点D重合． 又＝(0，1，－1)，所以·＝0， AC1⊥A1B，又BM∩A1B＝B，BM，A1B⊂平面A1BM， 所以AC1⊥平面A1BM，符合题意． 11．(多选)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝AD＝1，E为AB的中点，则(　　) A．A1B⊥B1C B．A1D∥平面EB1C C．点D到直线A1B的距离为 D．点D到平面EB1C的距离为 解析：选BC. 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0)，E(1，1，0). 对于A，＝(0，2，－1)，＝(－1，0，－1)，·＝1≠0，所以A错误； 对于B，显然A1D∥B1C，A1D⊄平面EB1C，B1C⊂平面EB1C，可得A1D∥平面EB1C，所以B正确； 对于C，＝(－1，0，－1)，设在直线A1B上的投影向量为，则＝·＝(0，2，－1)＝(0，，－)，则点D到直线A1B的距离为DQ＝＝，所以C正确； 对于D，设平面EB1C的法向量为m＝(x，y，z)，由＝(－1，0，－1)，＝(0，－1，－1)，则令x＝1，可得m＝(1，1，－1)，又＝(0，2，0)，所以点D到平面EB1C的距离d＝＝，所以D错误． 12．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是平面A1B1C1D1和平面ACD1内的动点，＝3，则PM＋MN的最小值为________． 解析：取点P关于平面A1B1C1D1的对称点为P1，连接P1M(图略)， 则PM＝P1M，设点P1到平面ACD1的距离为d，则PM＋MN＝P1M＋MN≥d. 以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，因为正方体的棱长为4，且＝3，所以P1(4，4，－1)，A(4，0，4)，C(0，4，4)，D1(0，0，0)，所以＝(4，4，－1)，＝(4，0，4)，＝(0，4，4). 设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取x＝1，则y＝1，z＝－1，则m＝(1，1，－1)，所以点P1到平面ACD1的距离d＝＝＝3. 即PM＋MN的最小值为3. 答案：3 13．(13分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证： (1)BM∥平面ADEF；(8分) (2)BC⊥平面BDE.(5分) 证明：(1)根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， 又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED. 因为ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，又AD⊥CD，所以，，两两垂直．以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2). 又M为CE的中点，所以M(0，2，1)， 则＝(－2，0，1)，且易知平面ADEF的一个法向量为n＝(0，1，0)，因为n·＝0，所以n⊥，又BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF. (2)由(1)可得＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，所以·＝0，·＝0，所以BC⊥DB，BC⊥DE.又DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE. 14．(15分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，过点A，B1，E的平面截正方体，得到如图所示的多面体，F为棱CC1上的动点． (1)点H在棱BC上，当CH＝CB时，FH∥平面AEB1，试确定动点F在棱CC1上的位置，并说明理由；(7分) (2)若AB＝2，求点D到平面AEF的最大距离．(8分) 解：(1)设平面BCC1B1与平面AEB1的交线为l，因为FH∥平面AEB1，平面BCC1B1∩平面AEB1＝l，FH⊂平面BCC1B1，所以FH∥l.由正方体ABCD-A1B1C1D1知，平面ADD1E∥平面BCC1B1，又平面ADD1E∩平面AEB1＝AE，平面BCC1B1∩平面AEB1＝l，所以AE∥l，所以AE∥FH. 如图，取BC的中点G，连接GC1，易知AE∥GC1，所以GC1∥FH，又H为CG的中点，所以F为CC1的中点． (2)以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(1，0，2)，设F(0，2，t)，t∈[0，2]，所以＝(－1，0，2)，＝(－2，2，t)，＝(2，0，0).设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则y＝2－，z＝1，所以n＝(2，2－，1)，所以点D到平面AEF的距离d＝＝，又t∈[0，2]，所以≤d≤，当t＝2，即点F与点C1重合时，d取得最大值.所以点D到平面AEF的最大距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $