第7章 第7讲 空间向量的概念与运算 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦空间向量核心应用，以问题链构建"概念-运算-应用"逻辑体系，通过分层题型培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量运算|3题|坐标运算、模长计算、数量积应用|从线性运算到数量积，构建代数表达基础| |位置关系|4题|共线/共面判定、垂直证明|依托空间向量基本定理，实现几何问题代数化| |几何应用|6题|夹角余弦、法向量、几何体中向量表示|结合三棱柱/正方体模型，强化空间观念与逻辑推理|

1．已知e1，e2，e3不共面，若＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋μe3，且A，B，C三点共线，则λ＋μ＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.因为A，B，C三点共线，所以＝x，即e1＋e2＋e3＝xe1＋xλe2＋xμe3，故解得所以λ＋μ＝1＋1＝2. 2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A． B．2 C． D．1 解析：选A.因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝.又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝. 3．(2026·济南模拟)已知在空间直角坐标系Oxyz中，三点A(1，1，0)，B(0，，1)，C(2，1，－1)，则向量与夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.依题意，＝(1，0，－1)，＝(0，，1)，所以向量与夹角的余弦值为＝＝－. 4．(2026·齐齐哈尔模拟)已知空间中有5个点E，A，B，C，D，若满足(1－λ)＝＋＋λ，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由－λ＝＋＋λ得＝＋＋λ(＋)＝＋＋λ，由空间向量共面定理的推论可知，＋＋λ＝1，解得λ＝. 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，＝2，则＝(　　) A．－＋ B．＋＋ C．－＋－ D．－＋＋ 解析：选D.连接EF(图略)，因为＝2，所以＝，又E是BC的中点，所以＝(＋)，所以＝(＋).因为＝＋，E，F分别是BC，CC1的中点，所以＝(＋)＝(＋＋).因此＝＋＝(＋)＋(＋＋)＝－＋＋. 6．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则(　　) A．与是共线向量 B．的单位向量是(1，1，0) C．与夹角的余弦值是－ D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 解析：选CD.对于A，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，因为≠λ，所以与不是共线向量，所以A不正确；对于B，因为＝(2，1，0)，所以的单位向量为±(，，0)，所以B不正确；对于C，因为向量＝(2，1，0)，＝(－3，1，1)，所以cos 〈，〉＝＝－，所以C正确；对于D，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)， 所以即 令x＝1，得n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，所以D正确． 7．已知向量a＝(－2，0，1)，b＝(1，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若2a＋b＝(－3，2，5)，则|a＋b|＝________． 解析：若a⊥b，则a·b＝－2＋x＝0，解得x＝2.若2a＋b＝(－3，2，2＋x)＝(－3，2，5)，则2＋x＝5，解得x＝3，则b＝(1，2，3)， 所以a＋b＝(－1，2，4)，于是|a＋b|＝＝. 答案：2　 8．已知正四面体ABCD的棱长为2，若M，N分别是AB，CD的中点，则线段MN的长为________． 解析： 连接AN，如图，因为＝＋＝－＋＋，又，，两两的夹角均为，且||＝||＝||＝2，所以2＝(－＋＋)2＝(2＋2＋2－2·－2·＋2·)＝(||2＋||2＋||2－2||·||cos －2||·||·cos ＋2||·||cos )＝2，所以MN＝. 答案： 9．(13分)已知向量a，b，c是空间中不共面的三个向量，＝a－2b＋c，＝pa＋b＋qc，＝2a＋b－2c. (1)若＝m，m∈R，求p，q的值；(6分) (2)若O，A，B，C四点共面，求3p＋5q的值．(7分) 解：(1)由题可得， ＝－＝pa＋b＋qc－(a－2b＋c)＝(p－1)a＋3b＋(q－1)c， ＝－＝2a＋b－2c－(a－2b＋c)＝a＋3b－3c， 因为＝m，所以(p－1)a＋3b＋(q－1)c＝m(a＋3b－3c)， 即解得 所以p，q的值分别为2，－2. (2)因为O，A，B，C四点共面，所以存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ， 即pa＋b＋qc＝λ(a－2b＋c)＋μ(2a＋b－2c)＝(λ＋2μ)a＋(μ－2λ)b＋(λ－2μ)c， 则 所以3p＋5q＝3(λ＋2μ)＋5(λ－2μ)＝8λ－4μ＝8λ－4(1＋2λ)＝－4， 即3p＋5q的值为－4. 10．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，A1D1的中点，M是DB上靠近点B的四等分点，P在正方体的内部或表面，·(＋)＝0，则||的最大值是(　　) A．1 B． C． D． 解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，E(1，0，)，F(，0，1)，M(，，0)，所以＝(－，0，)，＝(－，－，1)，　 则＋＝(－，－，)， 设P(x，y，z)，0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，则＝(x，y，z)，因为·(＋)＝0，所以－x－y＋z＝0，即z＝，所以||2＝x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋()2，又0≤x≤1，0≤y≤1，所以x2＋y2＋()2≤1＋1＋()2＝3，当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，所以||的最大值是. 11．(多选)已知四边形ABCD是平行四边形，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)，则(　　) A．点D的坐标是(－2，0，－1) B．||＝ C．cos ∠DAB＝ D．四边形ABCD的面积是2 解析：选BD.设D(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，由＝(－2，2，－2)，且＝， 可得x＝－2，y＝2，z＝－1，所以点D的坐标是(－2，2，－1)，故A错误； 因为＝(－4，2，－1)，则||＝＝，故B正确； 因为＝(2，0，－1)，＝(－2，2，－2)，所以·＝－4＋0＋2＝－2，且||＝＝，||＝＝2，则cos ∠DAB＝＝＝－，故C错误； 由C可知sin ∠DAB＝＝＝，则四边形ABCD的面积为||·||sin∠DAB＝×2×＝2，故D正确． 12． 如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝________． 解析：由题图设＝λ(0<λ<1)，由已知，得＝＋＋＝2＋3＋，所以＝2λ＋3λ＋.因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝. 答案： 13．(15分) 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长均为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设＝a，＝b，＝c，M，N分别是棱AA1，BC的中点，点P为棱C1D1上的动点． (1)用a，b，c表示；(4分) (2)若P为棱C1D1的中点，求|＋|；(5分) (3)是否存在点P，使AP⊥A1N？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．(6分) 解：(1)＝－＝＋－＝－a＋b＋c. (2)因为P为棱C1D1的中点， 则＝a＋b＋c，＝a＋c， 所以|＋|＝|a＋b＋c| ＝ ＝ ＝. (3)假设存在点P，使AP⊥A1N， 设＝λ＝λb，0≤λ≤1， 则＝a＋λb＋c，由(1)知＝－a＋b＋c，所以(a＋λb＋c)·(－a＋b＋c)＝0， 即－a2＋λb2＋c2＋(1－λ)a·b＋(λ＋1)·b·c－a·c＝0， 化简得－1＋2λ＝0，解得λ＝∈[0，1]， 所以使AP⊥A1N的点P存在，且点P为C1D1的中点． 14． (多选)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是CC1，BB1的中点，设＝λ，λ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝时，CF⊥AD B．∃λ∈[0，1]，CF⊥平面ABD C．∃λ∈[0，1]，EF∥平面ABD D．当λ＝时，AF与平面ABD所成的角为60° 解析：选AC. 取AC的中点O，A1C1的中点G，连接OB，OG，则OB，OC，OG两两垂直．如图，以点O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OG所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，D(0，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，A1(0，－1，2)，B(，0，0)，E(，0，1)，所以＝(0，2，0).连接OF，OA1，则由＝λ可得＝＋λ＝(0，2λ－1，2)，所以F(0，2λ－1，2)，＝(0，2λ－2，2). 对于A，当λ＝时，＝(0，－1，2).又＝(0，2，1)，所以·＝0－1×2＋2×1＝0，所以⊥，即CF⊥AD，A正确； 对于B，＝(0，2，1)，＝(，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则有即取x＝1，则n＝(1，－，2)是平面ABD的一个法向量．若CF⊥平面ABD，则∥n，而＝(0，2λ－2，2)，显然，n不共线，B错误； 对于C，＝(－，2λ－1，1)，要使EF∥平面ABD，则应有⊥n，所以·n＝－－(2λ－1)＋2＝0，解得λ＝1，满足题意，C正确； 对于D，当λ＝时，F(0，－，2)，则＝(0，，2).设AF与平面ABD所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝≠sin 60°，D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $