第7章 第5讲 空间直线、平面的垂直(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线、平面的垂直核心考点，依据课标要求构建定义、判定定理、性质定理及常用结论的知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生系统掌握线面垂直、面面垂直的判定与性质，突破证明难点。 讲义突出数学思维与空间观念的培养，如通过线面垂直判定定理中“相交直线”条件的辨析、面面垂直性质定理的应用实例，引导学生逻辑推理。设置基础判断、典例精讲、变式训练分层练习，配合即时方法总结，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5讲　空间直线、平面的垂直 课标要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，了解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 提醒　证明线面垂直时，平面内的两条直线必须是相交直线． 2．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的 垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 常用结论　 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线l和三角形的第三边AB的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 解析：选B.因为三角形的两边AC，BC有交点C，且直线l和AC，BC同时垂直，所以该直线垂直于△ABC所在平面，故该直线l与AB垂直． 3．(用结论)(多选)已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的有(　　) A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，α∥β，则m⊥β C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝m，则m⊥α 解析：选ABD.对于A，若m⊥α，则取α内任意两条相交直线a，b，使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，则n⊥a，n⊥b，由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；对于B，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则也垂直于另一个平面，故B正确；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，D正确． 4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中互相垂直的平面有________对． 解析：因为PA⊥平面ABC，且PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC.同理，平面PAC⊥平面ABC.由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.综上，题图中相互垂直的平面有3对． 答案：3 5．(必修第二册P152T4改编)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(填“内”“外”“重”或“垂”) 解析：因为PO⊥α，OA，OB，OC⊂α，所以PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，即∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，因为PA＝PB＝PC，所以△POA≌△POB≌△POC，所以OA＝OB＝OC，所以点O是△ABC的外心． 答案：外 考点一　直线与平面垂直 　如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形． (1)若BP⊥平面ADP，求证：AD⊥平面ABP； (2)若AB＝BP＝AP，求证：AB⊥PC. 【证明】　(1)因为BP⊥平面ADP，AD⊂平面ADP，所以BP⊥AD， 因为AD⊥AB，AB∩BP＝B，AB，BP⊂平面ABP，所以AD⊥平面ABP. (2)因为四边形ABCD是正方形， 所以BC⊥AB，因为AB＝BP＝ AP，所以AB2＋BP2＝AP2，所以AB⊥BP， 又因为BC∩BP＝B，BC，BP⊂平面PBC， 所以AB⊥平面PBC， 因为PC⊂平面PBC，所以AB⊥PC. 【感悟进阶】　(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质定理． (2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直需借助线面垂直的定义． 　 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 考点二　平面与平面垂直 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．求证： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD. 【证明】　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD，因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. 【感悟进阶】　面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)一个转化：已知两个平面垂直，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1. 证明：平面AB1C⊥平面A1BC1. 证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BC＝CC1， 所以四边形BCC1B1为菱形， 所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面BCC1B1， 所以B1C⊥平面A1BC1， 因为B1C⊂平面AB1C， 所以平面AB1C⊥平面A1BC1. 考点三　平行、垂直关系的综合应用 　如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD，BD⊥BF，AB＝AD＝AE＝2，BC＝2，EF＝3，∠BAD＝∠DAE＝. (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)若点O，G分别为AD，BC的中点，证明：平面EOGF⊥平面ABCD. 【证明】　(1)因为AB∥CD，AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF，又因为AB⊂平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以AB∥EF，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. (2)因为AB＝AD＝2，∠BAD＝，所以△ABD为等边三角形，所以∠ABD＝，又AB∥CD，所以∠BDC＝，又BC＝2，所以在△BCD中，由余弦定理，得(2)2＝22＋CD2－2CD，解得CD＝4或CD＝－2(舍去). 因为BD2＋BC2＝CD2，所以BD⊥BC，又BD⊥BF，且BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCF，所以BD⊥平面BCF，因为FG⊂平面BCF，所以BD⊥FG，因为AD＝AE＝2，∠DAE＝，所以△ADE为等边三角形，又O为AD中点，所以EO⊥AD. 由OG为梯形ABCD的中位线，可得OG＝＝3＝EF，且OG∥AB∥CD，所以OG∥EF，所以四边形EOGF为平行四边形，所以FG∥EO，所以BD⊥EO，又EO⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面EOGF，所以平面EOGF⊥平面ABCD. 【感悟进阶】　 　如图，平面图形ABCD为菱形，CE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD且AF＝CE. (1)证明：直线DE∥平面ABF； (2)若平面DEF⊥平面BEF，求的值． 解：(1)证明：因为CE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，则CE∥AF， 因为CE⊄平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CE∥平面ABF，又因为四边形ABCD为菱形，则DC∥AB，因为DC⊄平面ABF，AB⊂平面 ABF，所以DC∥平面ABF， 又因为DC∩CE＝C，DC，CE⊂平面DCE， 所以平面DCE∥平面ABF， 因为DE⊂平面DCE， 所以DE∥平面ABF. (2)因为CE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，CD，AD⊂平面ABCD， 所以CE⊥CD，AF⊥AD， 则CE2＋CD2＝DE2，AF2＋AD2＝DF2， 又因为AD＝CD，CE＝AF， 则DE＝DF，同理得BE＝BF， 且易得DE＝BE，所以△DEF≌△BEF. 取EF中点为M，连接DM，BM， 所以DM⊥EF，DM＝BM， 因为平面DEF⊥平面BEF，平面DEF∩平面BEF＝EF，DM⊂平面DEF， 所以DM⊥平面BEF，又因为BM⊂平面BEF，所以DM⊥BM，所以△BDM为等腰直角三角形，连接AC，记AC∩BD＝O，则MO∥AF，又MO＝AF，MO＝BD， 所以AF＝BD，即＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $