第7章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦空间点、直线、平面位置关系核心考点，按基本事实及推论、位置关系分类、应用问题的逻辑架构梳理知识，通过基础判断、改编题巩固、考点例题精讲、方法总结、分层练习等环节，帮助学生系统构建空间几何认知体系，突破共面共线共点证明、异面直线判断等难点。 讲义突出几何直观与逻辑推理，如利用正方体模型讲解基本事实应用，通过“共面先定平面、共线先定直线”策略总结提升解题效率。设置从基础判断到综合折展问题的分层训练，配合教材改编题与模拟题，培养学生空间观念与推理能力，为教师提供清晰复习路径，助力学生高效备战高考。

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．　2.了解四个基本事实和一个定理、三个推论，并能运用其判断有关命题的真假，解决一些简单的证明问题． 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)四个基本事实 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1) (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的三种位置关系是相交，平行，直线在平面内． (2)平面与平面的两种位置关系是平行，相交． 提醒　直线a和平面α相交、直线a和平面α平行统称为直线a在平面α外，记作a⊄α. 常用结论　 1．异面直线的判定：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．几个唯一性结论 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l.(　　) (2)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．(　　) (3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.(　　) (4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(必修第二册P131练习T1改编)已知α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 解析：选D.若m与n平行，由于A∈m，A∈α，n⊂α，可得m⊂α，与m⊄α矛盾，故m与n不可能平行． 3．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，直线BC1的异面直线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.直线BC1的异面直线有A1B1，AC，AA1，共3条． 4．经过平面外一点可以作____________个平面平行于这个平面；可以作____________条直线平行于这个平面． 解析：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面，可以作无数条直线平行于这个平面． 答案：1　无数 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，则∠EFG与∠ABC1的关系是________________________． 解析：因为E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1，EF∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补． 答案：互补 考点一　基本事实的应用 　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 【证明】　(1)如图所示，连接B1D1. 因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 设A1，C，C1确定的平面为α， 平面DBFE为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点． 所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R， 所以R∈A1C，R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交，设交点为M， 则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1， 得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 【感悟进阶】　共面、共线、共点问题的证明方法 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 　1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 解析：选AD.在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确； 在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，所以B不正确；选项C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，所以D正确． 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱D1C1上靠近点D1的三等分点．设AE与平面BB1D1D的交点为O，则(　　) A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1 B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1 C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1 解析：选B.如图 ，连接BD1，AD1，BC1，因为O∈直线AE，AE⊂平面ABC1D1，所以O∈平面ABC1D1.又因为O∈平面BB1D1D，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，所以O∈直线BD1，所以三点D1，O，B共线．因为AB∥D1E，所以△ABO∽△ED1O，所以OB∶OD1＝AB∶ED1＝3∶1，所以OB＝3OD1. 考点二　空间两条直线位置关系的判断 　如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点，则(　　) A．直线HE与直线GF是异面直线 B．直线HE与直线BB1是异面直线 C．直线HE与直线CC1共面 D．直线HE与直线BF共面 【解析】　延长AA1， BB1，CC1，DD1，由正四棱台的性质可得侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的延长线交于同一点，设该交点为P.因为E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点， 所以延长HE，GF，则HE，GF的延长线必过点P，则直线HE与直线GF相交于点P；与直线BB1相交于点P；与直线CC1相交于点P；所以直线HE与直线GF，BB1，CC1分别共面，与直线BF是异面直线． 【答案】　C 【感悟进阶】　判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．” 　1.已知空间三条不同的直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 解析： 选D.如图所示，在长方体中，m，n1与l都异面，m∥n1，m，n2与l都异面，且m，n2也异面，m，n3与l都异面，m与n3相交． 2．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D．直线A1M与BN是相交直线 解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外， 点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误； 取DD1的中点E，连接AE(图略)， 则BN∥AE，但AE与AM相交， 所以AM与BN不平行，故B错误； 因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内， 点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1， 所以BN与MB1是异面直线，故C正确；连接MN，CD1，A1B(图略)， 因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN綉CD1，即MN綉A1B，所以A1M与BN在同一平面内且不平行， 所以A1M与BN是相交直线，D正确． 考点三　空间图形的折展问题 　(1)如图为正方体的平面展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 (2) (2026·上海期中)如图几何体是圆锥的一部分，其中∠AOB＝120°，OA＝OB＝2，PO＝2.从点A出发沿曲面运动到B的最短路线的距离是________． 【解析】　(1)如图，AB和CD，AB和GH，EF和GH都是异面直线，有3对． (2)因为∠AOB＝120°＝，OA＝OB＝2，则PA＝＝4， 所以劣弧即缺少的圆弧的长为×2＝，占底面圆周的， 圆O的周长为2π×2＝4π，则几何体所在的圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的圆心角为＝π，如图， 所以侧面展开图中的长为4π－＝，则∠APB＝＝， 所以AB2＝PA2＋PB2－2×PA×PB×cos ∠APB＝16＋16－2×4×4×(－)＝48， 所以AB＝4，则从点A出发沿曲面运动到B的最短路线的距离是4. 【答案】　(1)B　(2)4 【感悟进阶】　几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，注意一定要先观察立体图形的每一个面的形状． 注意　利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离． 　如图，已知正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长为1 cm，侧面积为9 cm2，则一质点自 点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A′的最短路线的长为(　　) A． cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 解析：选C. 将正三棱柱ABC-A′B′C′沿侧棱AA′展开，得到的侧面展开图如图所示， 依题意AB＝BC＝CA1＝1 cm，则AA1＝3 cm，又因为侧面积为9 cm2，所以AA1·A1A′1＝9，得A1A′1＝3 cm. 依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A′的最短路线为AA′1＝＝＝3(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $