第7章 第2讲 培优课——球的切、接(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦球的切接问题核心考点，涵盖正方体、正棱锥、圆锥等几何体与球的内切外接关系，按“几何体类型—问题类型—解题技法”逻辑架构梳理知识，通过考点精析、技法归纳（定义法、补形法、截面法）、真题详解（2026年模拟题）等环节，帮助学生构建空间关系认知框架，突破难点。 讲义以“数学眼光”培养空间观念，“数学思维”提升推理能力，创新采用补形法（如三棱锥补成长方体）、截面法（作轴截面转化平面问题）等解题策略，配合分层练习（基础巩固、能力提升）和方法总结（感悟进阶），确保高效突破。助力学生掌握高考高频题型解法，为教师把控复习节奏提供系统教学方案。

第2讲　培优课——球的切、接 一、正方体与球 1．内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a. 2．外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a. 二、正棱锥与球 1．内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高． 2．外接球：外接球球心在正棱锥的高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥的外接球半径为R，高为h). 说明　若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝a，R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1. 三、圆锥与球 若h是圆锥的高，R是圆锥底面圆的半径，r1是圆锥外接球的半径，r2是圆锥内切球的半径． (1)内切球：＝； (2)外接球：r＝R2＋(h－r1)2. 题型一　外接球问题 技法1　定义法 　(2026·武清模拟) 如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且AC⊥BC，PC⊥DE，AB＝2，则该四面体的外接球体积为(　　) A．4π B． C． D． 【解析】　 连接CE，PE，因为点D为线段PC的中点，PC⊥DE，则CE＝PE，又E为线段AB的中点，AC⊥BC，AB＝2，则CE＝AE＝BE＝PE＝1，则该四面体的外接球球心为E，半径为1，体积为. 【答案】　　C 【感悟进阶】　由球的定义，若一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．在一些特殊的几何体中，如正方体、长方体，其体对角线的中点就是外接球的球心． 技法2　补形法 　(2025·贵阳七校联考)如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A′，如图2，若三棱锥A′-EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A．π B．6π C．8π D．8π 【解析】　根据题意 可得A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E⊥A′F，且A′E＝A′F＝1，A′D＝2，所以三棱锥A′-EFD可补成一个长方体，如图所示，则三棱锥A′-EFD的外接球即该长方体的外接球．设长方体的外接球的半径为R，可得2R＝＝，所以R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π·()3＝π. 【答案】　　A 【感悟进阶】　补形法的常用策略 (1)正四面体可补形成正方体． (2)三条侧棱两两垂直的三棱锥、相对的棱相等的三棱锥可补形成长方体． (3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成棱柱． 技法3　截面法 　(2026·广州综合测试)已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(　　) A． B． C． D．3π 【解析】　由题意作出圆台与球O的轴截面如图，其中四边形ABCD为圆台的轴截面．记圆台上底面圆的圆心为O1，半径为r，圆台的高为h，球O的半径为R，则4πR2＝4π，得R＝1.连接OO1，OC，则OO＋O1C2＝OC2，即h2＋r2＝1.① 过点C作CF⊥AB，交AB于点F，在Rt△BCF中，∠CBF＝，BF＝1－r，所以tan ∠CBF＝＝＝，② 由①②及r<1得r＝，h＝，所以BC＝1，则圆台的侧面积S＝π(1＋)×1＝. 【答案】　B 【感悟进阶】　与球截面有关的解题策略 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径． (2)作截面：选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目的． 　1.(2026·宿迁模拟)已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设圆锥的底面半径为r，由于圆锥轴截面为正三角形，则外接球半径即为轴截面正三角形的外接圆半径，由正弦定理可得2＝，则r＝，易知该圆锥的高为h＝r＝，故该圆锥的体积V＝πr2h＝π××＝. 2．(2026·台州模拟)已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为3和12，高为6，则该正三棱台的外接球半径为(　　) A．4 B．2 C．3 D．2 解析：选B. 如图所示，O1，O2分别为上、下底面的外心，则外接球球心O在线段O1O2上， 连接C′O1并延长交A′B′于D1，连接CO2并延长交AB于D. 设等边三角形A′B′C′的边长为a1，根据等边三角形面积公式S＝a＝3， 得a1＝2，O1C′＝C′D1＝×3＝2， 设等边三角形ABC的边长为a2， 同理得a2＝4，O2C＝CD＝×6＝4， 则O1O＋O2O＝O1O2＝6， 设正三棱台的外接球的半径R， 得＋＝6， 解得R2＝20，即R＝2. 3．如图，在四棱锥E－ABCD中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝6，BC＝CE＝4，则该四棱锥的外接球的表面积为 ________． 解析： 如图所示，可以将四棱锥E－ABCD补形成一个长方体ADFG-BCEH，故长方体的外接球即为四棱锥的外接球，AE的中点O即为外接球球心，设四棱锥的外接球半径为R，所以半径R＝AE＝＝×＝，所以该四棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝68π. 答案：68π 题型二　内切球问题 　已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为(　　) A． B． C． D．4 【解析】　方法一(等体积法)：如图1，设O为正四棱锥P-ABCD的底面中心，E为BC的中点，连接PO，OE，PE，则PO为正四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为BC＝2，PB＝， 所以PE＝＝2，则PO＝＝，设该正四棱锥的内切球的半径为r， 则·S正方形ABCD·PO ＝(S正方形ABCD＋4S△PBC)r， 即×4×＝×(4＋4××2×2)r，解得r＝，故该正四棱锥的内切球的体积V＝π×()3＝. 方法二(几何法)： 如图2，连接AC，BD，交于点H，取BC的中点G，连接HG，PH，PG，则PH⊥平面ABCD，PG⊥BC，因为正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，所以PG＝＝2，PH＝＝，所以在Rt△PHG中，sin ∠HPG＝＝，所以∠HPG＝.设该正四棱锥的内切球的半径为r，内切球的球心为O，过点O作OQ⊥PG于点Q，则OH＝OQ＝r，PO＝2r，所以PO＋OH＝3r＝，解得r＝，故该正四棱锥的内切球的体积V＝π×()3＝. 【答案】　B 【感悟进阶】　几何体与球相切问题的解题策略 (1)体积分割法求内切球半径； (2)作出合适的截面(过球心、切点等)，在平面上求解； (3)多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题． 　1.如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则V1∶V2＝(　　) A.2∶ B．2∶3 C．3∶ D．∶1 解析：选D.如题图，四边形PAP′B为该几何体的轴截面，则四边形PAP′B的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为r，由OP＝OA＝1，得r＝，则V2＝πr3＝，V1＝2×π×12×1＝，所以V1∶V2＝∶1. 2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是(　　) A.12 B．2 C．6 D．48 解析：选C.设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin ×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×(2)2×2＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $