第7章 第2讲 培优课——球的切、接 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦空间几何体与球的切接问题，通过轴截面转化、等积法等系统方法，构建"空间问题平面化"的解题逻辑链，培养直观想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内切球|5题（如第4、8题）|等积法求半径、轴截面相切关系|从正四面体到圆台，逐步深化几何体与球的空间位置关系| |外接球|6题（如第2、11题）|补形法、正弦定理求半径|以直三棱柱、圆锥为载体，构建球心定位与半径计算模型| |综合应用|3题（如第13、14题）|多球相切、体积最值分析|融合空间想象与数学运算，体现模型思想与创新意识|

1．已知一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(　　) 解析：选C.易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，故选C. 2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选C. 由题意作图如图，过点O作平面ABC的垂线，垂足为M，连接OA，AM. 因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5，M为BC的中点，又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径为OA＝＝. 3．(2026·黄冈模拟)将一个棱长为10 cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A．底面半径为8 cm，高为10 cm的圆柱体 B．底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C．半径为6 cm的球体 D．各棱长均为15 cm的四面体 解析：选B.对于A，由于正方体的棱长为10 cm，故圆柱或圆锥底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5 cm，圆柱或圆锥的高最大不超过10 cm，故A错误，B正确；正方体的内切球的半径为5 cm，为正方体内最大的球，故C错误；正方体的面对角线的长度为10 cm，故棱长不超过10 cm，D错误． 4．(2026·南京联合调研)已知圆锥的侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为(　　) A． B． C． D．52π 解析：选A. 方法一：由题意知，圆锥的母线长l＝4，圆锥的底面周长C＝×2π×4＝2π，所以圆锥的底面半径R＝1.圆锥与其内切球的轴截面如图，OE⊥AC，AD⊥BC，AC＝4，CD＝1，则CE＝CD＝1.在Rt△ADC中，AD＝＝.在Rt△AOE中，OE2＝AO2－AE2＝(AD－OD)2－(AC－CE)2＝(－OE)2－(4－1)2，解得OE＝，所以圆锥内切球的表面积为4π×()2＝. 方法二(利用面积相等求三角形内切圆半径)：如方法一图，由方法一知AB＝AC＝4，BC＝2，AD＝.设内切球的半径为r，因为(AB＋AC＋BC)r＝BC· AD，所以(4＋4＋2)r＝×2×，解得r＝，所以圆锥内切球的表面积为4π×()2＝. 5．(2026·嘉兴模拟)若某正四面体的内切球的表面积为4π，则该正四面体的外接球的体积为(　　) A．9π B．27π C．36π D．64π 解析：选C.设正四面体的内切球的半径为r，则4πr2＝4π，所以r＝1.设正四面体的外接球的半径为R，正四面体的棱长为a，则正四面体的高为＝a， 则R2＝(×a)2＋r2，且R＋r＝a， 解得R＝a，r＝a，所以R＝3r，又r＝1， 所以R＝3，所以该正四面体的外接球的体积为πR3＝36π. 6．(2026·沈阳模拟)已知三棱锥P-ABC的体积为18，△ABC和△PBC都是等边三角形，∠PBA＝∠PCA＝90°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　　) A．36π B．54π C．72π D．108π 解析：选C.取BC的中点M，PA的中点O，连接PM，AM，OM， 设BC＝a，外接球的半径为R，则PM＝AM＝a， 因为∠PBA＝∠PCA＝90°， 所以PA＝a，且PA为三棱锥P-ABC外接球的直径． 因为BC⊥PM，BC⊥AM，PM∩AM＝M， PM，AM⊂平面PAM，所以BC⊥平面PAM， 所以由V三棱锥P-ABC＝18可得BC·S△PAM＝a·×a·＝18， 所以a3＝216，解得a＝6， 所以PA＝2R＝6，即R＝3， 所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝72π. 7．(2026·日照模拟)已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为3.若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为(　　) A．9π B． C．27π D． 解析：选B.如图， 作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与AD，CD，BC相切，设圆O的半径为R，则OE＝OF＝R，因为OE⊥CD，OF⊥BC，所以△OCE≌△OCF，作BH⊥CD，连接OB，延长EO交AB于点G，因为BG＝1，CE＝4，所以CH＝3，而BH＝3，由勾股定理得BC＝＝6，则OG＝3－R，且OB2＝BG2＋OG2＝OF2＋BF2，而BF＝BC－CF＝BC－CE＝2， 即(3－R)2＋12＝R2＋22，解得R＝， 则该球的表面积的最大值为S＝4πR2＝4π×＝. 8．已知有一个底面边长分别为3，4，5的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切，那么该三棱柱的体积为________． 解析：因为32＋42＝52，所以底面是斜边为5的直角三角形，设其内切圆的半径为r，三棱柱的高为h，由等面积法得×(3＋4＋5)×r＝×3×4，解得r＝1，如果该三棱柱存在内切球，那么h＝2r＝2，所以该三棱柱的体积为×3×4×2＝12. 答案：12 9．(2025·济宁一模)已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为________． 解析：因为球心在正四棱台的一个底面上，设球心所在底面为下底面，正四棱台的高为3，球半径为5，如图． 设上底面边长为a，则上底面中心到顶点距离为a，根据勾股定理得(a)2＋32＝52， 解得a＝4，因为球心在下底面，下底面中心到顶点距离就是球的半径5， 设下底面边长为b，高为h，上、下底面面积分别为S′，S，则b＝5，解得b＝5，所以正四棱台的体积V＝h(S＋＋S′)＝×3×[(5)2＋＋(4)2]＝122. 答案：122 10．已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　) A． B． C． D． 解析： 选A.设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，则R2＝h2＋r2，S＝πR2，S1＝2πrh，V＝·πR3＝πR3，V1＝πr2h，所以＝＝＝＋≥2＝1， 当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝r， 所以＝＝＝. 11．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为(　　) A． B． C．10π D．5π 解析：选B. 设△ABC外接圆的圆心为O1，三棱锥P-ABC外接球的球心为O，连接AO1，OO1，OA，则OO1⊥平面ABC.因为PA⊥平面ABC，所以PA∥OO1.作OF⊥PA，连接OP，又∠FAO1＝∠OO1A＝90°，所以四边形OFAO1是矩形，所以AF＝OO1，又OP＝OA，则AF＝PA，即OO1＝PA＝1.设△ABC外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R. 由正弦定理得2r＝＝＝， 可得r＝，所以R＝＝＝，则外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝. 12．已知△ABC中，CA⊥CB，AB＝2，若将△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的内切球半径为BC，则该内切球的表面积为________． 解析： 如图，作旋转体的轴截面，设内切球半径为r，CB＝a，CA＝b，因为△ABC中，CA⊥CB，AB＝2，则＝，即OA＝，＝，即OB＝.由AB＝OA＋OB＝2，得＋＝1.又r＝，可得b＝2a.由a2＋b2＝4可得a2＝，所以r2＝×＝. 所以该内切球的表面积为4πr2＝4π×＝π. 答案：π 13．(13分)如图，△BCD 是圆锥底面圆的内接三角形，BD＝4，cos ∠BCD＝，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的外接球的表面积；(6分) (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积．(7分) 解：(1)设圆锥底面圆的圆心为O，半径为r1， 因为cos ∠BCD＝，所以sin ∠BCD＝. 由正弦定理可知2r1＝＝4，则r1＝2. 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr1＝π·PA，所以PA＝4，所以圆锥的高h＝6. 设圆锥外接球的半径为R，则(6－R)2＋12＝R2，解得R＝4，所以圆锥的外接球的表面积为4πR2＝64π. (2)设圆台 上底面圆的半径为r2，内切球的半径为r， 由图根据三角形相似可知＝，解得r2＝，r＝2， 所以圆台的体积为V＝×4×(π＋12π＋4π)＝π. 14．(2026·湖北十一校联考)如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i＝1，2，…，8)，有1个以正方体的中心为球心的球O0，O0与Oi(i＝1，2，…，8)均相切，则该9部分的体积和的最大值为(　　) A． B．(2－3)π C．π D． 解析：选C.设球O0的半径为r1，Oi(i＝1，2，…，8)的半径为r2，所以2r1＋2r2＝，即得r1＋r2＝，又0＜r2≤，0<r1≤，所以≤r1≤. 该9部分的体积和为V＝πr＋πr ＝π(r1＋r2)(r＋r－r1r2) ＝π[(r1＋r2)2－3r1r2]＝2π(－r1r2) ＝2π(＋r－r1)≤(－)π. 学科网（北京）股份有限公司 $