第7章 第1讲 基本立体图形及其表面积与体积(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义围绕立体几何核心考点，系统梳理柱锥台球及组合体的结构特征、直观图画法、表面积与体积计算，按多面体与旋转体分类对比，结合公式推导与方法总结，通过考点分析、真题讲解及分层练习，帮助学生构建知识网络，突破空间想象与运算难点。 讲义注重数学思维与几何直观培养，如用定义法与反例法辨析结构特征，借斜二测画法“三变三不变”规则强化空间观念，体积计算渗透割补法与等积法，结合高考真题变式训练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第1讲　基本立体图形及其表面积与体积 课标要求　1.掌握柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．　3.能用斜二测画法画出简单空间图形(球、柱体、锥体、台体及其简单组合体)的直观图． 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于 一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于 一点 延长线 交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴相交于点O′，且∠x′O′y′＝45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ 2πrl S圆锥侧＝ πrl S圆台侧＝ π(r′＋r)l 提醒　几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． 4．柱体、锥体、台体、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 常用结论　 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2．原图形与直观图面积的关系 S直观图＝S原图形． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．(　　) (4)两个球的体积之比等于它们的半径比．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(必修第二册P116T1改编)已知正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm，3 cm，侧棱长为 cm，则正四棱台的侧面积为(　　) A．4 cm2 B．8 cm2 C．4 cm2 D．8 cm2 解析：选B.由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上、下底面边长分别为1 cm，3 cm，腰长为 cm，所以斜高为h′＝＝.所以侧面积为S＝×(1＋3)××4＝8 cm2. 3．(用结论)水平放置的△AOB的直观图如图所示，在直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则△AOB的面积是(　　) A．4 B．4 C．2 D．8 解析：选A.由常用结论2知，S△AOB＝2S△A′O′B′＝2××2×2×sin 45°＝4. 4．如图，三棱柱ABC-A′B′C′的体积为1，则四棱锥C-AA′B′B的体积是________． 解析：因为V三棱锥C-A′B′C′＝V三棱柱ABC-A′B′C′＝，所以V四棱锥C-AA′B′B＝1－＝. 答案： 5．若圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________． 解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，则πl2＝2π，解得l＝2，又2πr＝πl＝2π，解得r＝1，所以圆锥的底面半径为1. 答案：1 考点一　基本立体图形 角度1　结构特征 　(多选)下列说法正确的是(　　) A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的几何体都是圆锥 【解析】　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；对于C，因为棱锥都是由一个多边形的底面和另外多个有一个公共顶点的三角形构成，依题意平行四边形所在的面必是底面，故一定是四棱锥，故C正确；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是由两个同底圆锥组成的几何体，故D错误． 【答案】　AC 【感悟进阶】　辨别空间几何体的两种方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定； (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可． 角度2　直观图 　如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是(　　) A.面积为6的矩形 B．面积为的矩形 C．面积为6的菱形 D．面积为的菱形 【解析】　由题知 O′A′綉B′C′，∠D′O′A′＝45°，O′C′＝C′D′＝1，所以O′D′＝， 故在原图形OABC中，OA綉BC，OD＝2，CD＝C′D′＝1，OC＝＝＝3，OA＝O′A′＝3，所以四边形OABC为菱形(如图所示)，则原图形的面积S＝OA·OD＝6. 【答案】　C 【感悟进阶】　斜二测画法中的“三变”与“三不变” (1)“三变”：坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度改变(减半)；图形改变． (2)“三不变”：平行性不变；与x轴、z轴平行的线段长度不变；相对位置不变． 　1.(多选)下列命题中为假命题的有(　　) A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 解析：选AB.对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环，A错误；对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误；对于C，由棱柱的定义知，C正确；对于D，五棱柱共有10个顶点，5条侧棱，D正确． 2．在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A(2，0)，B(2，2)，C(0，6).在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O′A′B′C′的面积为(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 解析：选A.由题意得，直角梯形OABC的面积S＝×(2＋6)×2＝8，所以在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O′A′B′C′的面积S′＝S＝×8＝4. 考点二　空间几何体的表面积 　(1)(2025·湖北协作体模拟)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为(　　) A． B． C． D． (2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构．如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为________dm2. 【解析】　(1)设圆锥和圆柱的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长l＝2r， 则圆锥和圆柱的高h＝＝r， 所以圆锥的侧面积S1＝πrl＝2πr2，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2πr2，所以圆锥和圆柱的侧面积的比值为＝. (2)正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8(dm2)， 底面积为2××2×2×sin 60°＝2(dm2). 在正四棱台中，侧面梯形的高为＝2(dm). 所以正四棱台的侧面积为4×＝32(dm2).所以该结构的表面积为8＋2＋32＝(34＋8)(dm2). 【答案】　(1)C　(2)34＋8 【感悟进阶】　空间几何体的表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题应注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意衔接部分的处理． 　(2026·济南模拟)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 解析：选B.设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1＜r2，母线长为l.因为圆台的侧面展开图是半个圆环，所以＝π，即r2－r1＝①.又圆台的侧面积为4π，所以π(r1＋r2)l＝4π，即r1＋r2＝②.①×②得r－r＝2，所以圆台上、下底面面积之差的绝对值为π(r－r)＝2π. 考点三　空间几何体的体积 角度1　直接法 　(2026·河南洛平许济模拟)已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为12π，则该圆锥的体积为(　　) A．9π B．12π C．18π D．27π 【解析】　设圆锥的内切球的半径为r(r＞0)，则4πr2＝12π，所以r＝. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为3r＝3，圆锥的底面半径为r＝3，则圆锥的体积V＝×π×32×3＝9π. 【答案】　A 角度2　等积法 　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1 -D1MN的体积为________． 【解析】　 如图，由正方体的棱长为2，得S A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝， 又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高， 且D1A1＝2， 所以V三棱锥A1-D1MN ＝V三棱锥D1-A1MN ＝·S△A1MN·D1A1＝××2＝1. 【答案】　1 角度3　割补法 　(2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ 【解析】　方法一(补形法)：用一个完全相同的五面体A′B′C′－D′E′F′与该五面体相接，使D与F′，E与E′，F与D′重合，则形成的新组合体ABC－C′B′A′为一个三棱柱，该三棱柱的体积等于底面边长为1，高为4的直三棱柱的体积，故该五面体的体积V＝×××12×4＝. 方法二(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×12××1＋××＝. 【答案】　C 真题源于教材人教A版必修第二册P115 例2，如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度) 　 相似度　真题中的五面体分割后可以看作是一个三棱柱和四棱锥组成的组合体，教材题中的漏斗是由长方体和四棱锥组成的组合体． 变式点　真题可从改变几何体形状(如变六面体、其他多面体)、改变设问(如求表面积、棱长)等方面进行变式． [变式]　如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________． 解析： 方法一(分割法)：因为多面体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意知，V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝(×2×1)×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝(×2×1)×2＝2. 故所求多面体的体积为V＝2＋2＝4. 方法二(补形法)：因为多面体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的.又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG＝23＝8，故所求多面体的体积为V＝×8＝4. 答案：4 【感悟进阶】　求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：规则几何体的体积，直接利用公式． (2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体． (3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积，特别是求三棱锥的体积． 　1.(2026·宁波模拟)已知圆台的高为2，体积为14π，上、下底面圆的半径比为1∶2，则上底面圆的半径r＝________． 解析：方法一(公式法)：由圆台上底面圆的半径为r，则其下底面圆的半径为2r，由题意知，[πr2＋＋π(2r)2]×2＝14π，解得r＝. 方法二(补形法)：将圆台补形成圆锥(图略)，由圆台上底面圆的半径为r，得圆台下底面圆的半径为2r.由题意设大圆锥的高为h，则小圆锥的高为h－2，由相似比得＝，则h＝4.则V圆台＝V大圆锥－V小圆锥＝π(2r)2h－πr2(h－2)＝14π，解得r＝. 答案： 2．(2026·南京、盐城调研)已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E满足＝.设三棱锥P-ACE和四棱锥P-ABCD的体积分别为V1和V2，则的值为________． 解析：如图，因 为＝，所以V三棱锥E-PAC＝V三棱锥D-PAC.因为底面ABCD是平行四边形，所以S△ABC＝S△ACD，所以V三棱锥D-PAC＝V三棱锥P-ACD＝V2，所以V1＝V三棱锥E-PAC＝V2，所以＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $