第6章 周测十一(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦数列核心题型，通过典例解析系统呈现等比、等差、递推数列的解题方法，逻辑链从基本量计算到综合应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等比数列|4题|基本量法、性质应用、前n项和公式|从定义到性质，构建“首项-公比-求和”逻辑链| |等差数列|3题|前n项和与通项关系、公差计算|以公差为核心，关联求和公式与项的性质| |递推数列|2题|累加法、构造新数列|通过转化思想，将递推式化为等差/等比数列| |周期数列|1题|列举找周期|结合数列递推规律，培养观察与归纳能力|

周测十一 (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2025·山师附中一模)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a3－2a1＝a2，则S6＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．65 解析：选C.设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，由a1＝1，a3－2a1＝a2，得q2－2＝q，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以S6＝＝63. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a5＝11，则实数k的值为(　　) A.2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选C.由题意，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋2，又a5＝11，所以9k＋2＝11，解得k＝1. 3．(2026·益阳模拟)已知等比数列{an}中，a1＋a3＝2，a4＋a6＝16，则a10＋a12＝(　　) A．26 B．32 C．512 D．1 024 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1＋a3＝2，a4＋a6＝16，所以a1＋a1q2＝2，a1q3＋a1q5＝(a1＋a1q2)q3＝16，解得q＝2，a1＝，所以a10＋a12＝a1q9＋a1q11＝×(29＋211)＝1 024. 4．(2026·河南期中)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，且T3＝，T5＝，则T8＝(　　) A．16 B．4 C．2 D．1 解析：选A.因为等比数列{an}的前n项积为Tn，且T3＝，T5＝，可得T5＝a1a2a3a4a5＝T3a4a5＝a4a5＝，所以a4a5＝2，由等比数列的性质，可得T8＝a1a2a3a4a5a6a7a8＝(a4a5)4＝24＝16. 5．(2026·福建月考)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 027＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B.由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)得， a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 027＝a337×6＋5＝a5＝－1. 6．(2026·无锡调研)数列{an}，{bn}满足a1＝8，an－an－1＝8n(n∈N*，n≥2)，bn＝·，则数列{bn}的最大项是(　　) A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 解析：选B.当n≥2时，an－an－1＝8n，an－1－an－2＝8(n－1)，…，a2－a1＝16，将上述各式累加得an－a1＝＝(4n＋8)(n－1)，将a1＝8代入上式得an＝4n2＋4n(n≥2)，当n＝1时，a1＝8也满足上式，故an＝4n2＋4n(n∈N*)， 故bn＝(2n＋1)()n.令 即 解得≤k≤，k∈N*，故k＝9，即第9项最大． 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．(2026·衡水模拟)已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn，若a2＝，S3＝，则(　　) A．a1＝1 B．a5－a3＝ C．S4＝ D．{Sn＋2}是等比数列 解析：选ACD.设{an}的公比为q，由a2>0，{an}为递增数列，得q>1.因为S3＝a2(1＋q＋)，所以(1＋q＋)＝，解得q＝或q＝(舍去)，对于A，a1＝＝1，故A正确；对于B，an＝a1qn-1＝()n-1，a5－a3＝－＝，故B错误；对于C，Sn＝＝＝2×()n－2，S4＝2×－2＝，故C正确；对于D，Sn＋2＝2×()n，＝＝，又S1＋2＝2×()1＝3，所以{Sn＋2}是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 8．(2026·南京六校调研)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若S8<S6<S7，则下列说法正确的是(　　) A．当n＝7时，Sn最大 B．使得Sn<0成立的最小正整数n＝13 C．|a6＋a7|<|a8＋a9| D．数列中的最小项为 解析：选ACD.因为S8<S6<S7，所以S7－S6＝a7>0，S8－S6＝a7＋a8<0，所以a8<0，即当1≤n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，所以当n＝7时，Sn最大，故A正确； 因为a7>0，所以S13＝13a7>0.因为a7＋a8<0，所以a1＋a14＝a7＋a8<0，所以S14<0，所以使得Sn<0成立的最小正整数n＝14，故B错误； 因为a6＋a7>0，a8＋a9<0，且a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，所以|a6＋a7|<|a8＋a9|，故C正确； 由以上分析可知，当1≤n≤7时或n≥14时，>0，当8≤n≤13时，<0.因为0>a8>a9>…>a13，所以<<…<<0，即－>－>…>－>0.因为S8>S9>…>S13>0，所以根据不等式性质，得－>－>…>－>0，即<<…<<0，综上分析可知，数列中的最小项为，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1＝，a4是a2与a8的等比中项，记Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________． 解析：等差数列{an}中，a1＝，因为a4是a2与a8的等比中项，所以a＝a2a8， 即(＋3d)2＝(＋d)(＋7d)，解得d＝或d＝0(舍去)，所以S20＝20×＋×＝105. 答案：105 10．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________． 解析：由题意知公比q≠－1，由＝， 得＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－. 答案：－ 11．(2026·天津月考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且an＋2＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________． 解析：由an＋2＝(n∈N*)，得＝，即＝＝＋1，又a1＝1，a2＝，所以＝＝2，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，故当n≥2时，××…×＝n×(n－1)×…×2，即＝n！，故an＝＝，n≥2，显然当n＝1时也满足上式，故an＝. 答案：an＝ 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an；(6分) (2)求使Sn>an成立的n的最小值．(7分) 解：(1)由等差数列的性质可得，S5＝5a3，则a3＝5a3，所以a3＝0， 设等差数列{an}的公差为d， 所以a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d， 所以－d2＝－2d，由于公差d不为0，故d＝2， 数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列{an}的通项公式可得，a1＝2－6＝－4， 则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6， 整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6，又n为正整数， 故n的最小值为7. 13．(本小题满分15分)(2026·安徽联考)已知数列{an}满足an＋2＝6an＋1－9an(n∈N*)，且a1＝3，a2＝18. (1)证明：数列{an＋1－3an}是等比数列；(7分) (2)求数列{an}的通项公式．(8分) 解：(1)证明：因为an＋2＝6an＋1－9an(n∈N*)，则an＋2－3an＋1＝3an＋1－9an＝3(an＋1－3an).　 又a1＝3，a2＝18，所以a2－3a1＝18－3×3＝9≠0，所以an＋1－3an≠0， 所以＝3. 所以数列{an＋1－3an}是以9为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an＋1－3an＝9×3n-1＝3n+1，等式两边同时除以3n+1，得－＝1. 设bn＝，则b1＝＝＝1，且bn＋1－bn＝1. 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以bn＝1＋(n－1)×1＝n. 因为bn＝，所以an＝n·3n. 14．(本小题满分15分)(2025·江南十校联考)设{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn.若＝an＋1对任意n∈N*都成立，且2Sn＋1＝Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)已知首项为x1，公比q满足|q|<1的无穷等比数列{xn}，当n无限增大时，其前n项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列{xn}的各项和．现从数列{an}中抽取部分项构成无穷等比数列{bn}，且{bn}的各项和不大于，求b1的最大值．(9分) 解：(1)因为＝an＋1对任意n∈N*都成立，所以an·an＋2＝a， 且an>0，所以＝， 则数列{an}是等比数列．又2Sn＋1＝Sn＋2，n∈N*，则当n≥2时，2Sn＝Sn－1＋2， 两式作差得2an＋1＝an，即＝，n∈N*，n≥2，故数列{an}的公比为. 又因为2S2＝S1＋2，所以2(a1＋a1)＝a1＋2，所以a1＝1，所以{an}是以1为首项，为公比的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为an＝1×()n-1＝()n-1. (2)由(1)知an＝()n-1，设数列{bn}的首项为b1＝()m-1，公比为()k，其中m，k∈N*， 则根据题意，得数列{bn}的各项和为，所以≤， 又因为0<1－()k<1，所以()m-1≤[1－()k]<，所以b1＝()m-1≤，当b1＝()m-1＝时，由≤，得1－()k≥，即()k≤，故当k≥4，k∈N*时满足题意，所以(b1)max＝. 学科网（北京）股份有限公司 $