第6章 第6讲 培优课——数列中的综合问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦数列综合问题，涵盖等差等比数列综合、数列与函数不等式结合、数列实际应用三大高考核心考点，按“基础综合—知识交汇—实际建模”逻辑层次展开。通过考点梳理、方法指导、真题精讲、分层练习四环节，帮助学生构建数列问题解题框架，突破综合应用难点。 讲义采用问题驱动教学法，注重数学思维与数学眼光培养，如在数列求和中通过错位相减、累加法训练逻辑推理，在实际应用中引导学生抽象数列模型。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第6讲　培优课——数列中的综合问题 考点一　等差、等比数列的综合 　(2026·稽阳模拟)已知整数数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且b1＋b2＋b3＝14，b1b2b3＝64.数列{cn}满足an＝cnbn.数列{an}，{cn}前n项和分别为Sn，Tn，其中n2＜2Sn＜(n＋1)2. (1)求Sn和bn； (2)求Tn. 【解】　(1)当n＝1时，1＜2S1＜4.又因为an∈Z，所以a1＝1. 由题意易知{an}为等差数列，设公差为d，则Sn＝n＋d， 依题意得，n2＜2n＋n(n－1)d＜(n＋1)2， 则恒成立，解得d＝1，所以an＝n，Sn＝n(n＋1). 设等比数列{bn}的公比为q(q>1)，由b1＋b2＋b3＝14，b1b2b3＝64， 得b1＋b1q＋b1q2＝14，bq3＝64， 解得q＝2或q＝(舍去)，b1＝2， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)由题意得，cn＝， 则Tn＝＋＋＋…＋，① 则Tn＝＋＋＋…＋，② ①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝1－，即Tn＝2－. 【感悟进阶】　在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2a－11，求数列{|bn|}的前n项和Tn. 解：(1)由an＋1＝Sn＋2，得当n≥2时an＝Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝an(n≥2)，所以an＋1＝2an(n≥2). 将a1＝2代入an＋1＝Sn＋2得a2＝4＝2a1， 故{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n. (2)bn＝log2a－11＝2n－11. 设{bn}的前n项和为Bn， 则Bn＝b1＋b2＋…＋bn＝n2－10n， 因为当n≤5时，bn＜0，当n≥6时，bn＞0， 所以当n≤5时，Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Bn＝10n－n2， 当n≥6时，Tn＝－b1－b2－…－b5＋b6＋b7＋…＋bn＝Bn－2B5＝n2－10n＋50. 故Tn＝ 考点二　数列与不等式、函数 角度1　数列与函数 　(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝＋. (1)证明：数列{nan}是等差数列； (2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2). 【解】　(1)证明：已知＝＋，等式两边同乘n(n＋1)，得(n＋1)·an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1，又因为1×a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2. 因为f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm， 所以f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋mamxm-1， 方法一：f′(x)＝3＋4x＋5x2＋…＋(m＋2)xm-1，① 所以xf′(x)＝3x＋4x2＋5x3＋…＋(m＋2)xm，② ①－②，得(1－x)f′(x) ＝3＋(x＋x2＋…＋xm-1)－(m＋2)xm ＝3＋－(m＋2)xm. 当x＝－2时，3f′(－2)＝3＋－(m＋2)·(－2)m，故f′(－2)＝－·(－2)m. 方法二：f′(－2)＝a1＋2a2·(－2)＋3a3·(－2)2＋…＋mam·(－2)m-1＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋2)·(－2)m-1. 而(m＋2)·(－2)m-1＝·(－2)m-1－·(－2)m，所以f′(－2)＝×(－2)0－×(－2)1＋×(－2)1－×(－2)2＋…＋·(－2)m-1－·(－2)m＝×(－2)0－·(－2)m＝－·(－2)m. 【感悟进阶】　(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象来解决． (2)已知数列条件，解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件化简变形． 角度2　数列与不等式 　(2026·绵阳模拟)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：－≤Tn<－. 【解】　(1)由已知Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn得an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋3n－2， 即an＋1－an＝3n－2，则an－an－1＝3n－5，an－1－an－2＝3n－8，…，a2－a1＝1， 等式左右分别相加可得 an－a1＝(3n－5)＋(3n－8)＋…＋1＝＝(n≥2)， 则an＝＋a1＝(n≥2). 当n＝1时，a1＝2符合上式， 故an＝. (2)证明：依题意得，bn＝＝＝ ＝(－)， 则Tn＝(－1－＋－＋－＋…＋－)＝(－1－)＝－－，又n∈N*，所以∈(0，]，所以Tn＝－－∈[－，－)，即－≤Tn<－. 【感悟进阶】　(1)可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小． (2)一般采用放缩法，有时也可通过构造函数进行不等式的证明． (3)数列中有关项或前n项和的恒成立问题，常转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解． 　(2026·昆明模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*). (1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若n≤t(an＋1)(n∈N*)恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)因为a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，a1＋1＝2， 所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1. (2)由(1)知an＋1＝2n＞0，所以t≥＝恒成立． 令f(n)＝(n∈N*)，则f(1)＝f(2)＝，当n≥2，f(n＋1)－f(n)＝－＝＜0，所以f(n＋1)＜f(n)，所以f(n)max＝f(2)＝，即≤(n∈N*)恒成立．所以t≥，即实数t的取值范围为[，＋∞). 考点三　数列的实际应用 　提丢斯—波得定则简称“波得定律”，由德国的一位中学教师戴维·提丢斯于1766年提出，后经天文学家波得完善推广．该定律通过数学公式预测太阳系行星轨道距离，其核心思想是将数列变换后与天文单位结合，形成经验性规律，用数列{an}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示太阳系行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).若将数列{an}的各项乘10后再减4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn}从第3项起，每一项是前一项的2倍，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 【解析】　由题意知b1＝10×0.4－4＝0，b2＝10×0.7－4＝3，b3＝10×1－4＝6， 则当n≥2时，bn＝b2()n-2＝3×2n-2，此时an＝＝0.3×2n-2＋0.4， 当n＝1时，a1＝0.4，不满足上式． 所以当n≥2时，Sn＝0.4＋0.4(n－1)＋0.3(20＋21＋…＋2n-2)＝0.3×2n-1＋0.4n－0.3，当n＝1时，S1＝a1＝0.4，满足上式． 【答案】　0.3×2n-1＋0.4n－0.3 【感悟进阶】　在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型，然后根据数列相关知识分析处理． 　(2026·四川诊断性考试改编)如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{an}，则an＝________． 解析：由题可知，a1＝1，a2＝3＝1＋2＝a1＋2，a3＝6＝1＋2＋3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，所以数列{an}的一个递推关系式为an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*， 当n≥2时，利用累加法可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，将n＝1代入得a1＝1，故a1＝1满足an＝，所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. 答案：，n∈N* 学科网（北京）股份有限公司 $