第6章 第6讲 培优课——数列中的综合问题 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦等差等比数列核心考点，通过实际情境建模、性质应用及综合证明，系统训练数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等比数列基础|1-3题|选择（含多选），结合实际装饰、函数极值|定义→通项/求和公式→中项/符号性质，从具体问题抽象数列模型| |等差等比综合|4-5题|填空、解答，双数列复合及单调性分析|等差数列定义→复合数列构造→作差法判断单调性，体现运算能力| |递推与证明|6-7题|解答题，含导数应用及不等式证明|递推关系→构造新数列（等比）→放缩法证不等式，培养数学思维与表达|

1．某商演活动地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(　　) A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏 解析：选B.由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列{an}， 第5层楼所挂灯笼数为a1，公比q＝2. 由S5＝＝186， 解得a1＝6，则a3＝6×22＝24. 2．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝(　　) A．3 B．－3 C．－4 D．4 解析：选B.由f(x)＝x3＋4x2＋9x－1可得f′(x)＝x2＋8x＋9， 因为a3，a7是函数f(x)的极值点， 由根与系数的关系可得a3＋a7＝－8＜0，a3a7＝9＞0， 所以a3＜0，a7＜0，因为等比数列奇数项同号，则a5＜0，由等比数列的性质可知a＝a3a7＝9，则a5＝－3. 3．(多选)(2026·泉州质检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前n项积为Tn，若a10＝1，S10－S7＝7，则(　　) A.数列{log2an}为等差数列 B．a1＝1 024 C．Sn＜1 024 D．Tn的最大值为245 解析：选ACD.设{an}的公比为q(q＞0).对于A，因为a10＝1，所以an＝a10·qn-10＝qn-10，所以log2an＝log2qn-10，所以log2an＋1－log2an＝log2qn-9－log2qn-10＝log2q，log2q为常数，故A正确．对于B.因为S10－S7＝7，所以a10＋a9＋a8＝1＋＋＝7，解得q＝或q＝－(舍去)，所以a1＝＝29＝512，故B错误．对于C，Sn＝＝210·[1－()n]＝1 024－1 024()n＜1 024，故C正确．对于D，Tn＝a1·a2·…·an＝29·28·…·210-n＝2，因为n∈N*，所以n＝9或n＝10时，Tn取得最大值，为245，故D正确． 4．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前n项和为________． 解析：由题意有an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1，所以cn＝abn＝a1＋bn－1＝a1＋b1＋n－2，又a1＋b1＝5，所以cn＝n＋3，易知{cn}为等差数列． 设数列{cn}的前n项和为Sn，所以Sn＝＝＝. 答案： 5．(13分)(2026·焦作模拟)已知等差数列{an}满足2a2＋a3＝0，a4＝10，数列{bn}的首项为9，且{an＋bn}是公比为2的等比数列． (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)探究{bn}的单调性，并求其最值．(8分) 解：(1)设数列{an}的公差为d， 由题可得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－8＋6(n－1)＝6n－14，即数列{an}的通项公式为an＝6n－14. (2)因为b1＝9，a1＝－8，所以a1＋b1＝1， 又an＝6n－14， 由题知an＋bn＝6n－14＋bn＝1·2n-1＝2n-1，得bn＝2n-1－6n＋14， 所以bn＋1－bn＝2n-1－6，当n＝1，2，3时，bn＋1－bn＜0，当n≥4时，bn＋1－bn＞0， 所以b1＞b2＞b3＞b4＜b5＜b6＜…， 故数列{bn}先单调递减后单调递增，且数列{bn}有最小值，最小值为b4＝－2，无最大值． 6．(15分)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，且anSn＋1＋2an＋1＝an(Sn＋1). (1)证明：数列{＋1}是等比数列；(6分) (2)设函数f(x)＝＋＋…＋(n∈N*).求f′(1).(9分) 解：(1)证明：因为anSn＋1＋2an＋1＝an(Sn＋1)， 所以an(Sn＋1－Sn)＝an－2an＋1， 所以anan＋1＝an－2an＋1， 即an＋1(an＋2)＝an. 由a1＝1，易得an>0， 故an＋1＝.故＝＋1. 所以＋1＝2(＋1)， 而a1＝1，故＋1＝2≠0. 故数列{＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得＋1＝2×2n-1＝2n， 因为f(x)＝＋＋…＋， 所以f′(x)＝＋＋…＋， 故f′(1)＝＋＋…＋＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n－(1＋2＋…＋n)＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n－，① 则2f′(1)＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n+1－2×，② ①－②得－f′(1)＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n+1＋＝(1－n)2n+1－2＋， 故f′(1)＝(n－1)2n+1＋2－. 7．(15分)(2026·广西质量监测)已知数列{an}满足a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝3x＋1上，bn＝an＋. (1)证明：{bn}为等比数列；(3分) (2)求数列{an}的前n项和Sn；(4分) (3)设{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜.(8分) 解：(1)证明：因为点(an，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3an＋1， 则an＋1＋＝3an＋＝3(an＋)， 即bn＋1＝3bn，又b1＝a1＋＝， 所以{bn}是以为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可知，bn＝·3n-1＝＝an＋，所以an＝. 故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(3＋32＋…＋3n)－＝·－＝. (3)证明：由(2)可知，＝. 当n＝1时，＝1＜，满足题意； 当n≥2时，注意到3n－1－2·3n-1＝3n-1－1＞0，则3n－1＞2·3n-1，所以＜， 则Tn＝＋＋＋…＋ ＜1＋＋＋…＋＝ ＝[1－()n]＜.综上，Tn＜. 学科网（北京）股份有限公司 $