第6章 第3讲 等比数列 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦等比数列核心素养，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼基本量法、性质转化等解题策略，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-3题|基本量法（a₁,q）、方程思想|定义→通项公式→前n项和公式的生成关系| |性质应用|4-6题|下标和性质、中项性质|性质推导→简化计算→综合判断的逻辑| |数学思想|7-9题|分类讨论（q正负）、不等式求最值|公式应用→思想渗透→问题解决的递进| |创新应用|10-14题|构造新数列、实际建模|等比数列→变式拓展→跨情境应用的迁移|

1．(2026·南昌模拟)已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 解析：选D.由a2＋4a4＝4a3可得a2＋4a2q2＝4a2q，显然a2≠0，所以4q2－4q＋1＝0，解得q＝. 2．(2025·南京六校调研)已知等比数列{an}满足a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为(　　) A．48 B．32 C．24 D．8 解析：选B.由a4a5a6＝64，得a＝64，解得a5＝4.a2a4＋a6a8＝a＋a≥2a3a7＝2a＝32，当且仅当a3＝a7时等号成立，故a2a4＋a6a8的最小值为32. 3．(2026·烟台模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a3＝6，a1a4＝8，则S4＝(　　) A．－15 B．－5 C．5 D．15 解析：选D.由等比数列{an}的性质可知，a2a3＝a1a4＝8，又a2＋a3＝6，解得或当时，q＝＝2，所以a1＝1，故S4＝＝15； 当时，q＝＝，所以a1＝8，故S4＝＝15.综上，S4＝15. 4．(2026·南京、盐城模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.因为a1＋a2＝3，{an}的公比q＝2，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，所以an＝2n-1，所以ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝(210－1)2k-1＝24(210－1)，所以k＝5. 5．(2026·淮南、淮北模拟)权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码(如图)，用于测量物体质量．已知九枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2＝2，a4＝6，a9＝192，则{an}的前8项和为(　　) A．194 B．193 C．192 D．191 解析：选C.由题意可得a1＋a3＝2a2＝4，则a1＋a2＋a3＝6.设后7项所成等比数列的公比为q，则q5＝＝＝32，解得q＝2， 所以{an}的前8项和为(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋6＋12＋24＋48＋96＝192. 6．(多选)(2026·长春质量监测)已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，设该等比数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．a3＋a7≥2 B．当q>1时，数列{an}为递增数列 C．数列{Sn}递增的充要条件为q>0 D．当q>1时，满足Tn>1的n的最小值为9 解析：选ABC.因为数列{an}为等比数列，a3＝>0，a7＝a5q2>0，所以a3＋a7≥2＝2＝2，当且仅当a3＝a7时等号成立，故A正确； 因为a1＝>0，且q>1，所以an＝a1qn-1＝qn是关于n的增函数，所以数列{an}为递增数列，故B正确； 当q>0时，由对选项B的分析可知a1>0，所以an＝a1qn-1>0，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an>0，所以数列{Sn}递增．若数列{Sn}递增，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1>0，又a1>0，所以当n∈N*时，an>0，即an＝a1qn-1>0对任意n∈N*恒成立，所以q>0.所以数列{Sn}递增的充要条件为q>0，故C正确； T9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)·a5＝a＝1，显然选项D错误． 7．在等比数列{an}中，a1＝，a4＝4，则公比q＝________；＋＋…＋＝________． 解析：因为a1＝，a4＝4，所以＝q3＝8，所以q＝2，所以an＝×2n-1＝2n-2，所以＋＋＋＋…＋＝2＋1＋＋＋…＋＝＝4－()n-2. 答案：2　4－()n-2 8．若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6－2S3＝5，则a7＋a8＋a9的最小值为________． 解析：因为{an}是正项等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也是等比数列， 由题得，S6－S3＝S3＋5， 且S9－S6＝a7＋a8＋a9， 所以(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)， 则S9－S6＝＝ ＝S3＋＋10≥2＋10＝20， 当且仅当S3＝，即S3＝5(负值已舍去)时取等号，所以a7＋a8＋a9的最小值为20. 答案：20 9．(13分)在等比数列{an}中，a1＝1，a9＝4a7. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝127，求m.(8分) 解：(1)设{an}的公比为q，由题意得an＝qn-1，a1·q8＝4a1·q6，即q8＝4q6， 解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2， 故an＝(－2)n-1或an＝2n-1. (2)若an＝(－2)n-1，则Sn＝. 由Sm＝127，得(－2)m＝－380，此方程没有正整数解． 若an＝2n-1，则Sn＝2n－1， 由Sm＝127，得2m＝128，解得m＝7. 综上，m＝7. 10．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“λ数列”，已知数列为“λ数列”，且b1＝2，则b4＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.若为“λ数列”，则有－1＝3(－1)＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，为公比的等比数列． 则b4＝2×()3＝. 11．(2026·长沙月考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，若λan≥2log2an＋3对任意正整数n恒成立，则实数λ的最小值为(　　) A．4 B． C．3 D． 解析：选D.由Sn＝2an－2，得a1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，由 得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.由λan≥2log2an＋3，得λ≥，令cn＝，则λ≥(cn)max，而cn＋1－cn＝－<0，所以cn＋1<cn，即数列{cn}为递减数列，故(cn)max＝c1＝，所以λ≥，所以λ的最小值为. 12．(多选)(2026·重庆期中)已知等比数列{an}的公比q＝－，其前n项和记为Sn，且S6＝21，则(　　) A．a4a8＝1 B．an≥a2 C．Sn≤21 D．Sn≥16 解析：选ABD.由题意可得S6＝ ＝＝＝21， 所以a1＝32，则an＝32·(－)n-1＝－(－)n-6，　 a4a8＝－(－)4-6×[－(－)8-6]＝－4×(－)＝1，故A正确； an－a2＝－(－)n-6＋(－)-4＝16－(－)n-6，若n为奇数，则an－a2＝16－(－)n-6＝16＋>0；若n为偶数，则an－a2＝16－(－)n-6＝16－，随n的增大而增大，则an－a2≥a2－a2＝0，综上，an≥a2，故B正确； Sn＝＝＝－·(－)n，当n为奇数时，Sn＝＋>，且Sn随n的增大而减小；当n为偶数时，Sn＝－<，且Sn随n的增大而增大，则当n＝1时，Sn有最大值，即Sn≤S1＝32，当n＝2时，Sn有最小值，即Sn≥S2＝16，故C错误，D正确． 13．(15分)(2026·厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋an＝n＋3. (1)证明：数列{an－1}是等比数列；(7分) (2)记数列的前n项和为Tn，求满足Tn>2 026的最小正整数n的值．(8分) 解：(1)证明：由Sn＋an＝n＋3，① 得当n＝1时，a1＋a1＝1＋3，即a1＝2； 当n≥2时，Sn－1＋an－1＝n＋2，② 则①－②得，2an－an－1＝1， 则2(an－1)＝an－1－1，因为a1＝2，所以a1－1＝1，所以an－1≠0，所以＝，所以数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列． (2)由(1)得，an－1＝1·()n-1＝()n-1， 即an＝()n-1＋1， 则＝＝1＋2n-1， 则Tn＝1＋20＋1＋21＋…＋1＋2n-1＝n＋＝2n＋n－1， 因为y＝2x，y＝x－1在[1，＋∞)上单调递增，所以数列{Tn}为递增数列． 又T10＝210＋10－1＝1 033<2 026，T11＝211＋11－1＝2 058>2 026，所以满足Tn>2 026的最小正整数n的值为11. 14．(2026·合肥诊断)已知n为正整数，有穷数列ak＝2k(1≤k≤n，k∈N*)中所有可能的乘积aiaj(1≤i≤j≤n)的和记为Tn.例如，当n＝3时，T3＝a＋a1a2＋a1a3＋a＋a2a3＋a＝140.则Tn＝________． 解析：根据题意得，Tn＝a1a1＋(a1a2＋a2a2)＋(a1a3＋a2a3＋a3a3)＋…＋(a1an＋a2an＋a3an＋…＋anan)＝22＋(23＋24)＋(24＋25＋26)＋…＋(2n+1＋2n+2＋2n+3＋…＋22n)＝＋＋＋…＋＝(23－22)＋(25－23)＋(27－24)＋…＋(22n+1－2n+1)＝(23＋25＋27＋…＋22n+1)－(22＋23＋24＋…＋2n+1)＝－＝－22(2n－1)＝(2n+1－1)(2n－1). 答案：(2n+1－1)(2n－1) 学科网（北京）股份有限公司 $