第6章 第2讲 等差数列(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦等差数列核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和公式及性质应用，按“概念-公式-性质-结论”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破基本量运算、判定证明等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“感悟进阶”总结解题方法，如用“知三求二”解决基本量运算，通过等差中项推导培养数学思维与推理能力。设置分层练习与真题演练，结合即时反馈，助力学生高效掌握性质应用技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2讲　等差数列 课标要求　1.理解等差数列的概念．　2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．　4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系． 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项． 提醒　理解定义要注意三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”． 2．等差数列的基本公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．　 3．等差数列的常用性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；　 (2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)； (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d； (5)若{an}，{bn}(项数相同)都是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； (6)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的. 常用结论　 1．等差数列的函数性质 (1)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (2)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 2．两个常用结论 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1(n∈N*)，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．　(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(选择性必修第二册P24习题4.2 T1(1)改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝9，S4＝40，则数列{an}的公差d＝(　　) A．3 B．2 C． D．4 解析：选B.由题意得 解得故选B. 3．若数列{an}满足an＋1＝an－3且a1＝7，则a3的值是(　　) A．－3 B．4 C．1 D．－2 解析：选C.根据题意，由于an＋1＝an－3，可知数列{an}是公差为－3的等差数列，又a1＝7，所以数列{an}的通项公式为an＝10－3n，所以a3＝10－9＝1. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3＋a9＝24，则S6＝________． 解析：因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a9＝2a6＝24，所以a6＝12. 所以S6＝＝＝42. 答案：42 5．(用结论)在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n＝________． 解析：设等差数列的公差为d， 则S偶－S奇＝nd＝90－75＝15， 又因为a2n－a1＝27， 所以解得 答案：5 考点一　等差数列基本量的运算 　(1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　) A．－20 B．－18 C．16 D．18 (2)(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，d≠0，因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2，所以a＝a3a6，即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16. (2)根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15. 【答案】　(1)C　(2)B 【感悟进阶】　等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 　1.(2026·安徽调研)已知等差数列{an}的前8项和为48，a2＋a3＝4，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选B.依题意知S8＝＝48，即a1＋a8＝12. 设等差数列{an}的公差为d， 则解得d＝2. 2．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d， 由题意得a3＋a4＝(a1＋2d)＋(a1＋3d)＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋(a1＋4d)＝5， 即解得 所以S10＝10×(－4)＋×3＝95. 方法二：设等差数列{an}的公差为d， 由得 故d＝＝3，a6＝a5＋d＝8＋3＝11， 则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 答案：95 考点二　等差数列的判定与证明 　(2025·湘豫名校联考)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，是1－Sn与Sn＋1的等差中项． (1)证明：数列{}是等差数列； (2)求an. 【解】　(1)证明：因为是1－Sn与Sn＋1的等差中项，所以2＝1－Sn＋Sn＋1，所以Sn＝1＋Sn＋1－2＝(－1)2， 因为数列{an}的各项均为正数， 所以Sn>0，所以＝－1， 所以－＝1， 因为a1＝1，所以＝＝1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)因为数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，n∈N*. 【感悟进阶】　 　1.已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7＝(　　) A．13 B．49 C．35 D．63 解析：选B.由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，依题意得，公差d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝3＋2(n－2)＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49. 2．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝－(n≥2)，则数列{an}的第100项为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为＝－(n≥2)， 所以＋＝，所以为等差数列，首项为＝，第2项为＝1，所以公差d＝，所以＝＋99d＝＋99×＝50，所以a100＝. 考点三　等差数列的性质及应用 角度1　项的性质 　(1)(2026·辽宁模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝(　　) A．1 B． C．4 D．8 (2)(2026·长春质量监测)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3(a2＋a4＋am)，则m＝________． 【解析】　(1)因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝4. (2)方法一(性质法)：因为S9＝9a5，所以9a5＝3(a2＋a4＋am)，所以3a5＝a2＋a4＋am，所以2＋4＋m＝3×5，所以m＝9. 方法二(基本量法)：设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，则S9＝9a1＋d＝9a1＋36d，3(a2＋a4＋am)＝3[a1＋d＋a1＋3d＋a1＋(m－1)d]＝9a1＋12d＋3(m－1)d，因为S9＝3(a2＋a4＋am)，所以36d＝12d＋3(m－1)d，即3(m－1)d＝24d，因为d≠0，所以3(m－1)＝24，即m－1＝8，所以m＝9. 【答案】　(1)C　(2)9 【感悟进阶】　两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． 角度2　和的性质 　(1)(2026·长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(　　) A．0 B．3 C．6 D．12 (2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝________． 【解析】　(1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列． 又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，所以6＋S12－6＝S6－6＋6－S6，所以S12＝0. (2)＋＝＝＝， 所以＝＝＝＝. 【答案】　(1)A　(2) 【感悟进阶】　在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1). (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 角度3　最值问题 　等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 【解】　方法一：设公差为d.由S3＝S11， 可得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 所以Sn＝n2＋(a1－)n＝－(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大． 方法二：设公差为d. 由方法一可知d＝－a1，因为a1>0，所以d<0.Sn最大时，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，又n∈N*，故当n＝7时，Sn最大． 方法三：设公差为d. 由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0， 又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大． 【感悟进阶】　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 　1.(多选)(2026·广东模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a3是a1与a4的等比中项，则下列说法正确的是(　　) A．a2＝3 B．d＝－1 C．数列是递增数列 D．当Sn>0时，n的最大值为8 解析：选ABD.设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由S3＝9，a3是a1与a4的等比中项，得 即 解得d＝－1或d＝0(舍去)，故A，B正确； an＝a2＋(n－2)d＝3－(n－2)＝－n＋5，a1＝4，Sn＝＝， 所以＝，又随n的增大而减小， 所以数列是递减数列，故C错误； 当Sn＝>0时，n<9，所以n的最大值为8，故D正确． 2．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为________． 解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn，项数为2k－1(k≥2且k∈N*)，则＝＝，解得k＝10，则该数列的项数为2×10－1＝19. 答案：19 3．(2026·扬州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，则Sn＝________． 解析：由Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，可得Sn＝n(Sn＋1－Sn)－2n(n＋1)(n∈N*)，故(n＋1)Sn＝nSn＋1－2n(n＋1)，即－＝2，又S1＝a1＝2，则＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列，故＝2n，故Sn＝2n2. 答案：2n2 学科网（北京）股份有限公司 $