第6章 第2讲 等差数列 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦等差数列核心素养，以"性质应用+基本量法"双轨训练构建解题体系，覆盖定义、通项、求和及综合应用逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|5题（如T3、T7）|中项性质、片段和性质、奇偶项和差|从定义推导性质，建立"项-和-公差"关联| |基本量运算|4题（如T2、T4）|方程思想、函数法求最值|通项公式与求和公式的互化应用| |综合创新|5题（如T12、T14）|新定义转化、实际问题建模|从数学抽象到数学建模的思维进阶|

1．(2026·日照一模)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a3＋a5＝(　　) A．15 B．9 C．3 D．5 解析：选B.在等差数列{an}中，a2＋a4＝2a3＝6，所以a3＝3.根据等差数列的性质，得a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3×3＝9. 2．已知{an}，{bn}都是首项为1的等差数列，且{an}的公差为3，{bn}的公差为2，若数列{cn}满足cn＝an＋bn，则c10＝(　　) A．20 B．27 C．40 D．47 解析：选D.因为{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2，又{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，因此cn＝an＋bn＝5n－3，所以c10＝47. 3．(2026·南京调研)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn.若S3＝6，S6＝3，则S9＝(　　) A．－18 B．－9 C．9 D．18 解析：选B.方法一(基本量法)：设{an}的公差为d，依题意得 解得所以S9＝9a1＋36d＝－9. 方法二(利用等差数列的性质求解)：由{an}为等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，解得S9＝－9. 4．(2026·南京六校调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝63＋S3，a3＋a12＝12，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.设等差数列{an}的公差为d， 因为S12＝63＋S3，a3＋a12＝12， 所以 解得d＝2，a1＝－7. 5．已知等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11∶9，则公差d的值是(　　) A．－8 B．4 C．8 D．9 解析：选C.S奇＝a1＋a3＋…＋a15， S偶＝a2＋a4＋…＋a16， 根据题意可得， 解得S偶＝352，S奇＝288，又S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d＝352－288＝64，所以d＝＝8. 6．(多选)(2026·广东调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且4S5－5S4＝20，a6＝1，则下列选项正确的是(　　) A.a1＝－11 B．S9＝－9 C．当n＝5时，Sn取得最小值 D．记bn＝a2n，则数列{bn}的前n项和为2n2－9n 解析：选BCD.方法一(基本量法)：设等差数列{an}的公差为d，由已知得4(5a1＋d)－5(4a1＋d)＝20，a1＋5d＝1，解得a1＝－9，d＝2，故A错误； S9＝9a1＋d＝－9，故B正确； Sn＝na1＋d＝n2－10n＝(n－5)2－25，所以当n＝5时，Sn取得最小值，故C正确； 由{an}是首项为－9，公差为2的等差数列，得an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，所以bn＝a2n＝4n－11，所以{bn}为等差数列，b1＝－7，所以数列{bn}的前n项和为＝＝2n2－9n，故D正确． 方法二(等差数列的性质法)：设等差数列{an}的公差为d，由4S5－5S4＝20，得－＝1，则＝1，所以d＝2，因为a6＝1，所以a1＝a6－5d＝1－5×2＝－9，故A错误； S9＝9a5＝9(a6－d)＝9×(1－2)＝－9，故B正确； 对选项C和D的分析同方法一． 7．已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若a5是ap和aq的等差中项，则ap＋aq的值为________． 解析：方法一：设等差数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，代入点的坐标， 得解得即an＝－2n＋5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝2×(－10＋5)＝－10. 方法二：由题意知(1，3)，(3，－1)，(5，a5)三点共线，所以＝，解得a5＝－5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 答案：－10 8．(2026·福州质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝－600，当且仅当n＝30时，Sn取得最小值，则{an}的公差的取值范围为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a6＋(n－6)d＝(n－6)d－600.依题意得所以解得24<d<25. 答案：(24，25) 9．(13分)在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，前n项和为Sn，公差d＝2，ak＝10，Sk＝30(k∈N*). (1)求a1和k；(6分) (2)求数列{a2n}的前n项和Tn.(7分) 解：(1)由 解得或 因为a1>0，所以a1＝2，k＝5. (2)因为a1＝2，d＝2，所以an＝2n， 则a2n＝4n，且{a2n}为等差数列， 所以Tn＝＝＝2n2＋2n. 10．(多选)(2026·吕梁期末)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－15，Sn为其前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．{an}是首项为－13，公差为2的等差数列 B．是首项为－13，公差为1的等差数列 C．n＝7或8时，Sn取得最小值 D．若Sn>0，则正整数n的最小值为15 解析：选ABD.对于A，由题意得an＝2n－15，则an＋1＝2(n＋1)－15＝2n－13，则an＋1－an＝2n－13－(2n－15)＝2，a1＝－13，则{an}是首项为－13，公差为2的等差数列，故A正确； 对于B，由等差数列求和公式得Sn＝＝n2－14n，则＝n－14，而＝n－1－14＝n－15(n≥2)， 故－＝n－14－(n－15)＝1(n≥2)， ＝－13，则是首项为－13，公差为1的等差数列，故B正确； 对于C，Sn＝n2－14n，由二次函数性质得当n＝7时，Sn取最小值，故C错误； 对于D，令Sn>0，即n2－14n>0，解得n>14，则正整数n的最小值为15，故D正确． 11．(多选)(2026·保定模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝Pn2＋Qn＋M，其中P，Q，M为实数，则(　　) A．M＝0 B．若{an}为递增数列，则P>0 C．若Q＝0，则a3＝4a1 D．若P＋Q＋M＝0，则a1＝0 解析：选ABD.由Sn＝Pn2＋Qn＋M，① 可得当n＝1时，a1＝S1＝P＋Q＋M； 当n≥2时，Sn－1＝P(n－1)2＋Q(n－1)＋M，② 由①－②得an＝2Pn－P＋Q，n≥2， 对于A，因为{an}是等差数列，所以a3－a2＝a2－a1，即2P＝2P－M，M＝0，故A正确； 对于B，易得数列{an}的通项公式为an＝2Pn－P＋Q，当P＝0时，{an}为常数列，不合题意，故P≠0，an＝2Pn－P＋Q是关于n的一次函数，故当{an}为递增数列时，必有P>0，故B正确； 对于C，当Q＝0时，an＝2Pn－P，则a1＝2P－P＝P，a3＝6P－P＝5P＝5a1，故C错误； 对于D，由选项A得M＝0，由P＋Q＋M＝0可得P＋Q＝0，则a1＝P＋Q＝0，故D正确． 12．定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*)，其中d为常数，则称数列{an}为“等比差”数列．已知“等比差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝________． 解析：由数列{an}为“等比差”数列，得－＝－＝－＝2，又＝1，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，＝2n＋1，则＝·＝(2n＋1)·(2n－1)＝4n2－1，所以＝4×102－1＝399. 答案：399 13．(15分)(2026·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝an＋(1－n)t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2. (1)求t的值；(5分) (2)证明：{an}为等差数列；(5分) (3)若n2＜Sn＜(n＋1)2，n∈N*，求a1的取值范围．(5分) 解：(1)因为＝an＋(1－n)t，n∈N*， 所以＝a2－t， 又S2＝a1＋a2，所以a2－a1＝2t. 又a2＝a1＋2，所以t＝1. (2)证明：由(1)可得＝an＋1－n，n∈N*，所以Sn＝nan＋n－n2，① 因此Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1－(n＋1)2，② ②－①得an＋1＝(n＋1)an＋1－nan－2n， 得an＋1－an＝2，n∈N*， 所以{an}为等差数列． (3)由(2)得Sn＝na1＋×2＝n2＋(a1－1)n，由n2＜Sn＜(n＋1)2，n∈N*， 得1＜a1＜3＋. 因为1＜a1＜3＋对n∈N*恒成立， 所以1＜a1≤3. 14．(2026·河南模拟)鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个(d为常数).现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则m＝(　　) A．2 B．5 C．7 D．8 解析：选A.记从内向外第n层空心球上的雕孔数量为an， 由题意知an＝2＋(n－1)d，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为， 所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为6＋3d，12＋15d，则12＋15d－(6＋3d)＝6＋12d＝30，解得d＝2， 故＝n2＋n. 因为三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，层数为6的鬼工球雕孔数为42，所以层数为m的鬼工球雕孔数最少为6，故m2＋m＝6，解得m＝2(负值已舍去). 若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球； 若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意； 若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而56－12＝44>36，不符合题意．综上，m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $