第6章 第1讲 数列的概念及简单表示法 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦数列核心问题，通过典例系统呈现通项求解、周期判断、最值分析等方法，构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通项公式|第1、5、12题|观察法、累乘法、Sₙ与aₙ关系转化|从数列项的特征抽象通项，通过递推关系推导公式| |周期数列|第3、6、8题|计算前几项找周期，利用周期简化运算|由递推式发现周期性，建立“有限项→周期→任意项”逻辑| |数列求和与最值|第2、4、9题|Sₙ与aₙ互化，单调性分析求最值|通过项的正负分界或作差判断单调性，实现求和与最值求解| |特殊数列|第11、14题|归纳法、对称数列性质应用|从图形或定义中抽象数列规律，结合等差性质拓展应用|

1．已知数列， ，2，…，则2是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 解析：选C.由数列，，2，…的前3项，，可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，解得n＝7. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，则a3＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选A.因为数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，所以Sn＝2n－1，故a3＝S3－S2＝(23－1)－(22－1)＝4. 3．(2026·龙岩期中)若数列{an}满足a1＝6，an＋1＝，则a985＝(　　) A.－ B．－ C． D．6 解析：选D.因为a1＝6，an＋1＝， 所以a2＝＝－，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝6，…， 所以{an}是周期为4的周期数列，故a985＝a246×4＋1＝a1＝6. 4．(2026·武汉调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　　) A．－9 B．－7 C．－3 D．－19 解析：选D.令an＝2n－11<0，因为n∈N*，所以解得n＝1，2，3，所以数列{an}的前3项为负数，从第4项起为正数，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19. 5．(2026·高三名校联考)在数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n(2n－1)an，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A． B． C．2－ D．2－ 解析：选A.由于数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n(2n－1)an，那么当n≥2时，Sn－1＝(n－1)·(2n－3)an－1，两式相减可得，an＝n(2n－1)an－(n－1)(2n－3)an－1，所以(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，＝，由累乘法可得an＝···…···a1＝×××…×××＝(n≥2)，又因为a1＝满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝. 6．(多选)记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和，已知an－anan＋1＝1，则(　　) A．2a2＝1 B．a4＝3 C．a2 026－2＝0 D．2S3n＝3n 解析：选ACD.由题意可得an＋1＝1－，依次写出数列{an}的前6项：2，，－1，2，，－1，所以数列{an}的最小正周期T＝3， 2a2＝2×＝1，故A正确； a4＝2，故B错误； 由2 026＝3×675＋1，得a2 026－2＝a1－2＝0，故C正确； 2S3n＝2×n×(a1＋a2＋a3)＝3n，故D正确． 7．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式an＝________． 解析：由题图可知，a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，a4＝16＝5×4－4＝16，…，归纳得an＝5n－4. 答案：5n－4 8．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2＝2，an＋1an＋1＝an＋1，则S10＝________． 解析：因为an＋1an＋1＝an＋1， 所以a2a1＋1＝a2，又a2＝2，故2a1＋1＝2，可得a1＝，由an＋1an＋1＝an＋1，得an＋1＝，所以a3＝－1，a4＝， 所以数列{an}是周期为3的周期数列， 又a1＋a2＋a3＝，a10＝a1＝， 所以S10＝3×＋＝5. 答案：5 9．(13分)(2026·红河模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝3n2＋n. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)若bn＝(26－an)·2n，求bn取得最大值时n的值．(8分) 解：(1)当n＝1时，2S1＝3＋1＝4，解得a1＝S1＝2； 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n2＋n－[3(n－1)2＋n－1]＝6n－2，即an＝3n－1. 因为a1＝2也满足an＝3n－1，所以an＝3n－1. (2)由(1)得bn＝(27－3n)·2n，所以bn＋1－bn＝[27－3(n＋1)]·2n+1－(27－3n)·2n＝(21－3n)·2n， 所以当n<7时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn； 当n＝7时，bn＋1－bn＝0，即b7＝b8； 当n>7时，bn＋1－bn<0，即bn＋1<bn， 所以b1<b2<…<b7＝b8>b9>b10>…， 故当n＝7或n＝8时，bn取得最大值． 10．(2026·临沂模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn>0.99时，n的最小值为(　　) A．49 B．50 C．99 D．100 解析：选D.因为Sn＋nan＝1，所以当n＝1时，得2a1＝1，即a1＝， 当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋(n－1)an－1＝1， 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1. 因为a1＝，所以an≠0，所以＝， 此时an＝×××…××××a1＝×××…××××＝(n≥2)， 当n＝1时，a1＝也满足该式， 则an＝，则Sn＝1－nan＝1－， 若Sn＝1－>0.99，则n>99且n∈N*，故所求n的最小值为100. 11．(2026·湖北重点中学联考)如图，将正奇数进行排列，我们将3，7，13，21，31…都称为“拐角数”，则下面是“拐角数”的是(　　) A．55 B．77 C．91 D．113 解析：选C.将“拐角数”排列(第一行)，并作出相邻两项的差(第二行)，得 3　7　13　21　31　43　… 4　6　8　10　12　… 设第n个“拐角数”为an，则易得a1＝3，an－an－1＝2n(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2]＋3＝2·＋3＝n2＋n＋1(n≥2). 当n＝1时，a1＝3也符合上式，所以an＝n2＋n＋1(n∈N*).当n＝9时，a9＝92＋9＋1＝91.选项A，B，D中的数均不满足an＝n2＋n＋1. 12．已知数列{an}的各项都为正数，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”．若数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则a10＝________． 解析：因为各项均为正数的数列{an}的“匀称值”为Gn＝＝n＋2， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋2)，① 所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)(n＋1)，② ①－②得nan＝2n＋1，所以an＝(n≥2)， 所以a10＝. 答案： 13．(15分)(1)已知bn＝sin ，cn＝n，求数列{bncn}的前40项和S40；(7分) (2)数列1，2，1，2，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前n项和Tn.(8分) 解：(1)bn＝sin ()＝ (k∈N)，故S40＝(1＋0－3＋0)＋(5＋0－7＋0)＋…＋(37＋0－39＋0)＝－2×10＝－20. (2)由周期数列的定义可知该数列的最小正周期为2.当n为奇数时，Tn＝·1＋·2＝；当n为偶数时，Tn＝·(1＋2)＝.因此，Tn＝－. 14．若项数为n的数列{an}满足：ai＝an＋1－i(i＝1，2，3，…，n)，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k－1(k≥2)项的“对称数列”，其中c1，c2，c3，…，ck是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项为8.若数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1＝32，则k＝________． 解析：因为数列{cn}为2k－1(k≥2)项的“对称数列”，所以c1＝c2k－1，c2＝c2k－2，…，ck－1＝ck＋1.又c1，c2，c3，…，ck是公差为2的等差数列，所以数列c1，c2，c3，…，ck是递增数列，所以数列ck，ck＋1，ck＋2，ck＋3，…，c2k－1是公差为－2的等差数列，则数列ck，ck＋1，ck＋2，ck＋3，…，c2k－1是递减数列，又数列{cn}的最大项为8，所以ck＝8.因为数列{cn}的前2k－1项和S2k－1＝32，所以由对称性可知2(c1＋c2＋c3＋…＋ck－1)＋ck＝32.又ck＝8，所以c1＋c2＋c3＋…＋ck－1＝12，所以Sk＝20，所以Sk＝ck＋ck＋1＋ck＋2＋…＋c2k－1＝kck＋×(－2)＝8k＋×(－2)＝20，即k2－9k＋20＝0，解得k＝4或k＝5. 答案：4或5 学科网（北京）股份有限公司 $