第5章 [微拓展] 极化恒等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦向量数量积计算这一高考核心考点，以极化恒等式为工具，按“公式呈现-几何模型（平行四边形、三角形）-例题解析-分层练习”的逻辑架构组织内容，通过考点梳理建立知识联系，方法指导强化几何直观应用，真题训练提升解题能力，助力学生突破向量与几何综合问题难点。 讲义突出数学眼光与数学思维的培养，如借助几何模型将抽象数量积转化为直观长度关系，通过典型例题（正方形动点问题、四边形中点应用）示范解题策略，设置基础巩固与能力提升分层练习，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　极化恒等式 1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. 2.几何解释 (1)平行四边形模型（如图）：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (2)三角形模型（如图）：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即（M为BC的中点）.,极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 　(1)已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是(　　) A． B．2 C． D． (2)如 图，在四边形ABCD中，||＝4，·＝12，E为AC的中点，＝2，则·的值为(　　) A．0 B．12 C．2 D．6 【解析】　(1)由题意知，AB＝CD＝，如图 所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝2－2＝||2－，所以当点P与点A或点B重合时，||取最大值，最大值为，从而(·)max＝2. (2)因为||＝4，E为AC的中点， 所以||＝||＝2. 根据极化恒等式可得·＝2－2＝||2－4＝12，所以||＝4，所以||＝||＝2，所以·＝2－2＝4－4＝0. 【答案】　(1)B　(2)A 　1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：选A.方法一：因为|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，① 又|a－b|＝，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，② ①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1. 方法二(极化恒等式法)：由极化恒等式可得，a·b＝＝＝1. 2．如图，BC， DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选B.因为＝2，所以＝，||＝.由极化恒等式得·＝2－2＝－1＝－. 3．已知边长为1的正方形ABCD有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________． 解析：如图所 示，设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，·＝2－2＝||2－. 当P为正方形ABCD的某边的中点时，||min＝；当P与正方形ABCD的顶点重合时，||max＝，即≤||≤，因此，·＝||2－∈[0，]. 答案：[0，] 学科网（北京）股份有限公司 $