第5章 周测十(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦向量与复数专项，以题载知，覆盖基础计算、几何应用及综合问题，构建概念-运算-应用的逻辑链条，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量基础|6题（单选1/4/8等）|数量积、模、夹角计算|从模与数量积概念出发，推导投影、向量积等应用| |向量几何应用|5题（单选3/5/6等）|结合图形、三角形四心、动态问题|通过平行四边形法则、坐标法实现几何问题代数化| |复数运算|3题（单选2/7/12）|四则运算、纯虚数判断|基于复数定义，掌握运算规律及复平面表示| |综合应用|2题（解答13/14）|坐标系与三角函数结合|融合向量几何意义与三角变换，提升数学语言表达能力|

周测十 (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．－32 B．－38 C．－44 D．－50 解析：选C.(a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝|a|2－6|b|2－|a||b|cos 60°＝42－6×32－4×3×＝－44. 2．若复数z满足z·(1＋i)＝2－i，其中i为虚数单位，则z＋＝(　　) A．i B．－I C．1 D．－1 解析：选C.由z·(1＋i)＝2－i，得z＝＝＝－i，则＝＋i，所以z＋＝1. 3．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 A.轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 解析：选A.如图，设点A(3，3)，B(0，2)，C(2，0)，由题意知，视风风速对应的向量为，船速对应的向量为，因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量，所以船行风风速对应的向量为，则真风风速对应的向量为－＝＝(－2，2)，||＝＝2，而2∈(1.6，3.3)，故该时刻的真风为轻风． 4．(2026·泰安模拟)已知向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b－2c＝0，则cos 〈a，c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选D.a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2， 又|a|＝|b|＝1，|c|＝，所以1＋2a·b＋1＝3，得a·b＝，又c＝(a＋b)， 所以cos 〈a，c〉＝＝＝＝＝. 5．已知△ABC所在平面上的点P满足＝||·＋||·，则直线AP一定经过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 解析：选C.因为＝||·＋||·，所以＝||||(·＋)，根据平行四边形法则知向量＋与三角形中∠BAC的平分线所在直线的方向向量共线，而向量与＋共线，所以直线AP一定经过△ABC的内心． 6．(2026·江西部分高中联考)在平行四边形ABCD中，DA＝DB，E是平行四边形ABCD内(包括边界)一点，＝.若＝x＋y，则x＋y的取值范围为(　　) A．[1，2] B． C． D．[0，1] 解析：选B. 如图，取AB的中点M，连接DM.因为＝，所以||cos ∠EDA＝||·cos ∠EDB， 即cos ∠EDA＝cos ∠EDB，所以点E在∠BDA的平分线上． 因为DA＝DB，所以点E在线段DM上，设＝λ，λ∈[0，1]，所以＝＋λ. 易知＝＋＝－，所以＝＋λ(－)＝λ＋(1－).因为＝x＋y，所以x＋y＝λ＋1－＝1＋. 因为λ∈[0，1]，所以x＋y∈[1，]. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知z1＝3＋2i，z2＝4－i，则(　　) A．z1＋z2的虚部为－1 B．4z1－3z2是纯虚数 C．z1z2在复平面内对应的点位于第一象限 D．＝|z1|＋4 解析：选BC.z1＋z2＝7＋i的虚部为1，故A错误；4z1－3z2＝11i为纯虚数，故B正确；z1z2＝(3＋2i)·(4－i)＝14＋5i，其在复平面内对应的点(14，5)位于第一象限，故C正确；＝＝|－1－4i|＝，|z1|＋4＝＋4，≠|z1|＋4，故D错误． 8．已知平面向量a，b，c满足|b|＝2|a|＝4，且a⊥(a－b)，|c－b|＝，则下列结论正确的是(　　) A．与向量a共线的单位向量为a B．平面向量a，b的夹角为 C．|a－b|＝2 D．|c－a|的取值范围是[，3] 解析：选BCD.由题意得|a|＝2，所以与向量a共线的单位向量为±a，故A错误； 设平面向量a，b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝22－2×4cos θ＝0，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故B正确； 因为|a－b|＝＝＝2，故C正确； 如图，设＝a，＝b，＝c，由上可知∠AOB＝，由a⊥(a－b)得OA⊥AB，因为|c－b|＝，所以||＝，可知点C在以点B为圆心，为半径的圆上，所以|c－a|＝||∈[||－，||＋]，即|c－a|＝||∈[，3]，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若＝m＋n，m，n∈R，则m－n＝________． 解析：如图，因 为四边形ABCD为平行四边形，E为BD的中点，所以E为AC的中点，所以＝＋＝2－＝2－，所以m＝－1，n＝2，所以m－n＝－1－2＝－3. 答案：－3 10．(2026·海口模拟)已知|a|＝2，b＝(9，18)，〈a，b〉＝，则a在b上的投影向量是________．(用坐标表示) 解析：因为|b|＝＝9， a·b＝|a|·|b|cos ＝2×9×＝45， 所以a在b上的投影向量为·b＝(9，18)＝(1，2). 答案：(1，2) 11．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”为a×b.a×b是一个向量，它的模为|a×b|＝|a|·|b|·sin θ.若a＝(－1，1)，b＝(0，2)，则|a×b|＝________． 解析：由a＝(－1，1)，b＝(0，2)，得|a|＝，|b|＝2，a·b＝－1×0＋1×2＝2，则cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝，则sin θ＝.又|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，所以|a×b|＝×2×＝2. 答案：2 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知复数z1＝1＋i，z2＝2＋mi(m∈R). (1)若为纯虚数，求m的值；(6分) (2)若∈R，求3z1＋iz2的实部与虚部之和．(7分) 解：(1)因为z1＝1＋i，z2＝2＋mi， 所以＝＝ ＝＝＋i， 由为纯虚数得 解得m＝－2. (2)由(1)可知＝＋i，由∈R，得m－2＝0，解得m＝2，则z2＝2＋2i，所以3z1＋iz2＝3＋3i＋2i－2＝1＋5i， 所以3z1＋iz2的实部为1，虚部为5，故实部与虚部之和为1＋5＝6. 13．(本小题满分15分)如图，在 矩形ABCD中，E是BC边的中点，点F在边CD上． (1)若F是边CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；(7分) (2)若AB＝，BC＝2，求·的取值范围．(8分) 解：(1)因为E是BC边的中点，F是边CD上靠近点C的三等分点， 所以＝＋＝＋. 在矩形ABCD中，＝，＝－， 所以＝－＋，即λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝－＋＝. (2)以点A为 坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，E(，1).设F(x，2)，0≤x≤，所以＝(x，2)，＝(x－，1)，所以·＝x2－x＋2＝(x－)2＋，0≤x≤，所以·的取值范围为[，2]. 14．(本小题满分15分)如图 所示，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(－2，0)，点P，Q在单位圆上运动，以x轴的非负半轴为角的始边，以射线OP为终边的角为θ，以射线OQ为终边的角为φ，且满足φ－θ＝. (1)若θ＝，求·；(6分) (2)当点P在单位圆上运动时，求函数f(θ)＝·的解析式，并求f(θ)的最大值．(9分) 解：(1)由题意可知∠POA＝θ＝， 则∠QOA＝＋＝， 所以·＝·(－)＝2－·＝22－2×1×cos ＝4＋. (2)由题意可知P(cos θ，sin θ)，Q(cos φ，sin φ). 因为cos φ＝cos (θ＋)＝－sin θ， sin φ＝sin (θ＋)＝cos θ， 所以Q(－sin θ，cos θ)，所以＝(cos θ－2，sin θ)，＝(－sin θ＋2，cos θ)， 所以f(θ)＝·＝(cos θ－2)(2－sin θ)＋sin θcos θ＝2cos θ－sin θcos θ＋2sin θ－4＋sin θcos θ＝2sin (θ＋)－4. 当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，f(θ)取得最大值，最大值为2－4. 学科网（北京）股份有限公司 $