培优专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

培优专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线与圆锥曲线的位置关系判定 1．【答案】A 2．【答案】BCD 3．【答案】BC 4．【答案】AD 5．【答案】ABD ◆题型2 由位置关系反求参数取值范围 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】A 10．【答案】ACD ◆题型3 弦长计算与逆向求解 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】A 14． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 15． 【答案】(1)； (2) 或 ． 【分析】（1）主要考查根据椭圆的标准方程求离心率，代入离心率的公式，即可； （2）主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，分类讨论直线的斜率存在还是不存在，当直线的斜率，存在的时候，联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到和，进而得到，建立关于的方程，解出，得到直线的方程. 【详解】（1）由 的方程知 ，，所以 ， ．故离心率 ． （2）由（1）知 ． ① 当直线 的斜率不存在时，．代入 得 ，即 ，，此时 ，不合题意． ② 当直线 的斜率存在时，设 ．代入 并整理得 ．其判别式 ． 设 ， ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，即 ，解得 ，故 ． 所以直线 的方程为 ，即 或 ． ◆题型4 焦半径和焦点弦问题 16．【答案】或 17．【答案】/ 18．【答案】 19．【答案】ABD 20． 【答案】(1) (2)设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； （2）略 ◆题型5 中点弦模型与点差法应用 21．【答案】B 22．【答案】 23．【答案】ACD 24． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 25． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. ◆题型6 三角形与四边形面积计算 26．【答案】AC 27．【答案】B 28．【答案】C 29． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意求出，即可求出椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，通过向量关系求出，从而得出直线的方程，联立直线与椭圆方程，得出，然后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而得出的面积；（ⅱ）设，得出相应的直线方程，联立解出相关的参数，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题意分析即可得出结论. 【详解】（1）由，得，半焦距， 所以椭圆的离心率为：. （2）（ⅰ）设， 因为，所以， 所以，直线的方程为即：， 代入椭圆方程，得，由，得， 代入直线方程，得，即， 所以， 又到直线的距离， 所以的面积为. （ⅱ）设，方程为， 直线方程为，得， 同理， 因为，所以， 整理得，① 将直线方程代入椭圆方程，得，② 所以，， 代入①式得，整理得， 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，此时该直线经过轴上定点， 方程②可化为， 由，得， 当时，直线方程为，经过点，不符合题意， 所以的取值范围为.    30． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【详解】（1）将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. （2）直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. （3）四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. ◆题型7 切线与切点弦方程专项 31．【答案】B 32．【答案】B 33．【答案】3 34． 【答案】(1) (2)设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 【分析】（1）利用双曲线右焦点到渐近线距离等于直接得到，结合离心率和关系式求出，写出标准方程； （2）写出双曲线上点处切线方程，联立切线与两条渐近线，利用韦达定理求出交点横、纵坐标之和，验证中点坐标恰好就是切点，完成证明． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）略 35． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据实轴长和右焦点F到渐近线的距离求出，进而求出双曲线方程； （2）设出切线方程，代入到双曲线方程中，根据判别式为求出斜率，从而得到切线方程和切点，进而求出直线的方程. 【详解】（1）由题可知，所以， 又，渐近线方程为，即， 所以F到渐近线的距离为， 所以双曲线的方程为； （2）过点且斜率不存在的直线方程为，代入中，得， 所以是双曲线C的一条切线，不妨令，所以直线的方程为； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 代入中，整理得， 因为与双曲线相切，故， 展开并化简得：，解得， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线的方程为. ◆题型8 圆锥曲线的参数范围及最值问题 36．【答案】B 37．【答案】B 38．【答案】D 39． 【答案】(1)6 (2)或 (3)​ 【分析】（1）利用椭圆定义，将两条焦半径之和转化为长轴长． （2）两三角形同底，将面积比转化为点到直线的距离比，再联立直线与椭圆方程求点的坐标． （3）利用关于原点对称的两点坐标及椭圆方程作差，求出两条直线斜率的乘积，再由已知斜率范围求所求范围． 【详解】（1）由椭圆方程得，，，由椭圆定义得，因此的周长为． （2）因为点在椭圆上且在第一象限内，，又，，所以，从而直线的方程为． 设，因为与以为公共底边，且，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍，即，得或． 由得，其判别式，故无实数解； 由得，解得或，代入，对应得或． 因此点的坐标为或． （3）由（2）中直线的方程与椭圆方程联立，得，两根为和，故． 设，，则，且． 由存在知，若，则由椭圆方程得，此时或，均不在内，故，直线的斜率存在． 将两点满足的椭圆方程相减，得，所以． 由及，得，且两端点分别在和时取得． 40． 【答案】(1)， (2)① ； ② 的取值范围；的取值范围 【分析】（1）根据的关系可求点的坐标，根据渐近线的性质可求出斜率的取值范围； （2）①根据直线与双曲线的位置关系即可求解； ②首先根据存在两条切线可求出的范围，然后根据韦达定理可得，最后根据的范围结合反比例函数的性质即可求出的范围. 【详解】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. ◆题型9 向量条件的坐标化转化与韦达应用 41．【答案】C 42．【答案】B 43．【答案】A 44． 【答案】(1) (2)或． 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标． 【详解】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 45． 【答案】(1)焦距为4，离心率 (2) (3)且 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C A D D A B AD ACD ACD 10． 11．①② 12． 13．(1) (2)（i）；（ii），此时点的坐标为或． 【分析】（1）求出的坐标，根据斜率可求，从而可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，从而可求切线方程，再求出的坐标，结合数量积可求，从而可求或根据夹角公式可求；（ⅱ）根据（ⅰ）中的结果可求的面积或根据坐标平面上三点的面积公式可求面积，结合导数可求最小值及对应的坐标. 【详解】（1）当点的横坐标为1时，，不妨设，则， 由题意得直线的斜率为1，所以，解得， 所以的方程为． （2）解法一：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 则． 所以， ． 则，， 所以， 所以． 解法二：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 直线的斜率，直线的斜率， 则． 若取，同理仍得， 故． （ⅱ）解法一：由（ⅰ）得的面积． 求导得， 由，故，， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时，或．点的坐标为或． 解法二：若，则，即． 在中，，，， 的面积 ． 求导得， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时或．点的坐标为或． 14．(1) (2) (3)存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率与焦距，联立关系式，求出直接写出双曲线方程； （2）由直线与圆相切，用点到直线距离求出参数m；联立直线双曲线，韦达定理算弦长，再求原点到直线距离，用求面积； （3）设定点，直径圆条件转化向量数量积，代入韦达整理为关于m的多项式，令各次项系数为0，解方程组求n. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． （3）略 15．(1)或； (2)当时，取得最小值， 最小值为． (3)设，， 又题设的斜率必存在且，故设， 由可得，整理得， 故 ， 故，故， 故，同理. 因为，故， 故 ， 当且仅当即时，为定值. 【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得； （2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值； （3）设，，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标，同理可求的坐标，从而可用的坐标表示，结合在椭圆上化简前者可得时定值为. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，故， 因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）略. 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线与圆锥曲线的位置关系判定（重） ◆题型2 由位置关系反求参数取值范围 ◆题型3 弦长计算与逆向求解（重） ◆题型4 焦半径和焦点弦问题 ◆题型5 中点弦模型与点差法应用（高频） ◆题型6 三角形与四边形面积计算（高频） ◆题型7 切线与切点弦方程专项 ◆题型8 圆锥曲线的参数范围及最值问题（难） ◆题型9 向量条件的坐标化转化与韦达应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线与圆锥曲线的位置关系判定 1．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 2．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（多选）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 【答案】BCD 【分析】利用题目条件解出抛物线方程后逐一分析选项. 【详解】将点代入抛物线方程，得： ， 解得，因此抛物线的方程为， 根据抛物线的性质：焦点为，准线为，焦点到准线的距离为， A选项：抛物线的准线为，不是，A错误； B选项：求直线方程：，斜率，直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， ，直线与抛物线只有一个交点，因此直线与相切，B正确； C选项：抛物线的焦点为，C正确； D选项：焦点到准线的距离为，D正确. 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）（多选）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】BC 【分析】求出椭圆的方程，利用点与椭圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用直线与椭圆的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】设椭圆的方程为，由题意可得，解得， 故椭圆的方程为， 对于A选项，因为，故点不在椭圆上，A错； 对于B选项，，，则， 所以椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，直线的方程可化为，该直线过定点， 因为，则点在椭圆内，故直线与椭圆相交，C对； 对于D选项，若的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，设点、，由题意可得， 因为，两个等式作差得， 所以，故，D错. 故选：BC. 4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 【答案】AD 【分析】将点的坐标代入双曲线方程，可求出的值，可判断A选项；求出、、的值，结合双曲线的离心率公式可判断B选项；根据双曲线的方程可求出渐近线方程，可判断C选项；将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为， 对于A选项，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知，双曲线的标准方程为，则，，， 双曲线的离心率为，B错； 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，C错； 对于D选项，联立可得，则， 所以直线与双曲线仅有一个交点，D对. 故选：AD. 5．（2026·福建厦门·二模）（多选）已知曲线与坐标轴交于A，B两点，点在上，则（   ） A． B．为轴对称图形 C．直线与有两个公共点 D．使得的面积为的点恰有2个 【答案】ABD 【分析】对于A，分别令求得曲线与坐标轴的交点，结合两点间的距离公式即可判断；对于B，验证关于的对称点也在上即可判断；对于C，将直线代入到曲线方程，该方程无解，故直线与曲线无公共点，对于D，通过分析曲线在不同象限的分支，并考虑其渐近线，结合的值与面积，即可判断满足条件的点的个数. 【详解】对于A，不妨设与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，即， 令，则，解得，即，易得直线， 则，故A正确； 对于B，当时，，在第一象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，，在第四象限内有图象（圆的一部分）， 当时，，在第三象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，，此时等式不成立，故在第二象限内没有图象， 设在上，因为关于的对称点也在上， 所以关于直线对称，为轴对称图形，故B正确； 对于C，联立，得，无解，故C错误； 对于D，若的面积为，且，则到的距离为， 若在第四象限，此时的轨迹是圆心为，半径为1的圆在第四象限的部分图像， 圆心到的距离为， 则到的距离的最大值为， 则面积的最大值为， 因为，所以不存在满足条件的点， 因为曲线，的渐近线为， 直线与直线的距离为， 若的面积为，且， 则到直线和渐近线的距离都为， 如图，满足题意的点恰有两个，故选项D正确. ◆题型2 由位置关系反求参数取值范围 6．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 7．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 8．（2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 9．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线方程得到基本量与渐近线，设出过焦点的直线并联立方程；结合二次方程系数、韦达定理根的符号、特殊位置逐一验证各选项. 【详解】由双曲线，得，，即，， 所以渐近线方程为. 又右焦点，设过的直线为（存在）， 联立，消去，得， 整理得.① 对于，渐近线斜率为，若直线斜率，则直线与其中一条渐近线平行，此时直线和双曲线只有1个交点，正确； 对于，若两点均在右支，则方程有两个不相等的正根，即， 由韦达定理得，. 因中分子恒成立，故需要分母，解得，错误； 对于，分跨两支，则方程的两根一正一负，即，解得，正确； 对于，直线垂直于轴，即，代入双曲线，得，交点为，， 弦长为，正确. ◆题型3 弦长计算与逆向求解 11．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 12．（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及弦长公式计算即可． 【详解】因为双曲线离心率，所以． 由，得，所以双曲线方程为，右焦点为． 由题意知，直线的方程为，设， 联立，得， 所以， 则 ，所以． 故选：A. 14．（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 15．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 【答案】(1)； (2) 或 ． 【分析】（1）主要考查根据椭圆的标准方程求离心率，代入离心率的公式，即可； （2）主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，分类讨论直线的斜率存在还是不存在，当直线的斜率，存在的时候，联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到和，进而得到，建立关于的方程，解出，得到直线的方程. 【详解】（1）由 的方程知 ，，所以 ， ．故离心率 ． （2）由（1）知 ． ① 当直线 的斜率不存在时，．代入 得 ，即 ，，此时 ，不合题意． ② 当直线 的斜率存在时，设 ．代入 并整理得 ．其判别式 ． 设 ， ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，即 ，解得 ，故 ． 所以直线 的方程为 ，即 或 ． ◆题型4 焦半径和焦点弦问题 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知过抛物线的焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 【答案】或 【详解】弦长（为过焦点的直线的倾斜角），所以， 所以，因为，所以，所以． 因为，所以或． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    18．（专题进阶检测（31）26版优化指导高考总复习二轮数学【山东接力】）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 【答案】 【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算． 【详解】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 19．（25-26高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】A：根据条件列出的方程组，解之可得双曲线的方程；B：根据双曲线的定义结合勾股定理可求的面积；C：先表示出，再根据角平分线定理可求得的坐标；D：根据选项C中的表示直接求得结果. 【详解】由题意得，联立，解得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 在中，联立， 解得， 所以的面积为，故B正确； 由角平分线定理有，设，则，且， 所以， 同理可得，代入角平分线定理：，解得， 所以点的坐标为，故C错误； 若，则，故D正确． 故选：ABD． 20．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； （2）略 ◆题型5 中点弦模型与点差法应用 21．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设弦端点，，中点，故， 点在双曲线上，满足方程， 两式作差并整理得：， 故，经检验符合题意． 22．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 23．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）（多选）已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的有（   ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．设，则使的点有个 C．设为原点，则直线的斜率 D．曲线以为中点的弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；化简曲线的方程，利用两点间的距离公式求出点的坐标，可判断B选项；利用直线与双曲线的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，记点、， 则， 由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的右支，A对； 对于B选项，设曲线的方程为， 则，可得，又因为，故， 所以曲线的方程为， ， 解得，故，故满足的点只有一个，且，B错； 对于C选项，若直线的斜率不存在，且该直线为轴，此时直线与曲线无公共点， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， 关于的方程有正根，所以，解得，C对； 对于D选项，设以为中点的弦的端点为、， 若直线的斜率不存在，则、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由， 这两个等式作差得， 由题意可得，， 所以， 此时直线的方程为，即， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，，即、都为正数，符合题意. 综上所述，曲线以为中点的弦所在直线的方程为，D对. 故选：ACD. 24．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 25．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. ◆题型6 三角形与四边形面积计算 26．（26-27高二上·云南昆明·期中）（多选）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2．点是曲线上一点，且是直角三角形．若的面积为6，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】由是直角三角形，可得或或，利用对称性得到或对应不同的的值，分别求解即可. 【详解】由双曲线离心率为2，可得. 因为是直角三角形，所以或或 当，则由勾股定理，利用双曲线的性质， 于是由的面积为6，可得 结合，解得. 由对称性，或对应的的值相同，所以仅考虑. 此时，由的面积为6，可得. 结合，解得. 27．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面积关系得到，从而确定关系，再逐项分析即可. 【详解】将代入椭圆方程中，解得：， 因为在第一象限，所以，所以坐标为：， 由，又，因此， 由，的边的长为，高为的横坐标，故， 代入中得：，从而可得：， 又因为，所以， 即， 对于A，由，满足，故A正确； 对于B，由 ，不满足，故B错误； 对于C，将化为标准形式为：， 由 ，满足，故C正确； 对于D，将化为标准形式为：， 由 ，满足，故D正确.    28．（26-27高二上·全国·课前预习）已知双曲线: 的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①用“定义＋余弦定理”求 后代入面积公式；②把双曲线与渐近线统一为 （、），由韦达定理知两组交点中点重合；③由 在曲线上得 ，反比例对应得 的范围；④联立直线与 ，判别式 ，直线相离故无中点弦. 【详解】在双曲线 中， ， 对于①：在双曲线的焦点三角形 中，由余弦定理及双曲线的定义得 ，可得 ， 所以 ，故①正确； 对于②，不妨设 ， 当 时表示双曲线，当 时表示该双曲线的两条渐近线. 设直线 ，其与 的交点为 ， 联立 ，可得 ， 应满足 且 ．由韦达定理可知 ，都与 无关． 所以线段 的中点与线段 的中点重合，不妨设为 . 由 可知 ，故②正确； 对于③，设 ，且 ，则 ， 所以若 的斜率范围为 ，则 的斜率的范围为 ，故③正确； 对于④，联立 ，消去 可得 ， 故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，④错误． 29．（2026·山东·模拟预测）椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意求出，即可求出椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，通过向量关系求出，从而得出直线的方程，联立直线与椭圆方程，得出，然后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而得出的面积；（ⅱ）设，得出相应的直线方程，联立解出相关的参数，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题意分析即可得出结论. 【详解】（1）由，得，半焦距， 所以椭圆的离心率为：. （2）（ⅰ）设， 因为，所以， 所以，直线的方程为即：， 代入椭圆方程，得，由，得， 代入直线方程，得，即， 所以， 又到直线的距离， 所以的面积为. （ⅱ）设，方程为， 直线方程为，得， 同理， 因为，所以， 整理得，① 将直线方程代入椭圆方程，得，② 所以，， 代入①式得，整理得， 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，此时该直线经过轴上定点， 方程②可化为， 由，得， 当时，直线方程为，经过点，不符合题意， 所以的取值范围为.    30．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【详解】（1）将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. （2）直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. （3）四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. ◆题型7 切线与切点弦方程专项 31．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 32．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 33．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【分析】设，根据切线方程求出，利用求出即可. 【详解】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 34．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【答案】(1) (2)设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 【分析】（1）利用双曲线右焦点到渐近线距离等于直接得到，结合离心率和关系式求出，写出标准方程； （2）写出双曲线上点处切线方程，联立切线与两条渐近线，利用韦达定理求出交点横、纵坐标之和，验证中点坐标恰好就是切点，完成证明． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）略 35．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)已知是双曲线外一点，过P引双曲线C的两条切线为切点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据实轴长和右焦点F到渐近线的距离求出，进而求出双曲线方程； （2）设出切线方程，代入到双曲线方程中，根据判别式为求出斜率，从而得到切线方程和切点，进而求出直线的方程. 【详解】（1）由题可知，所以， 又，渐近线方程为，即， 所以F到渐近线的距离为， 所以双曲线的方程为； （2）过点且斜率不存在的直线方程为，代入中，得， 所以是双曲线C的一条切线，不妨令，所以直线的方程为； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 代入中，整理得， 因为与双曲线相切，故， 展开并化简得：，解得， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线的方程为. ◆题型8 圆锥曲线的参数范围及最值问题 36．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 37．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，的标准方程，再用，表示出，，代入后，利用函数的单调性求出最大值. 【详解】设双曲线的标准方程为，，则双曲线的标准方程为，， 所以，， 所以， 设，则， 设，则， 令，解得，又因为，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当，函数有最大值， 所以的最大值为. 38．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（   ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由题意求出椭圆方程及几何量，利用椭圆的定义、几何性质及函数单调性逐一判断四个结论. 【详解】对于①，由题意，半圆半径，则椭圆短半轴长，焦距，所以长半轴长， 则椭圆长轴长，故①正确； 对于②，因为三点共线，且在圆上，所以， 则， 设，则， 又在椭圆 上，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 对于③，设直线的方程为， 联立，得， 联立，得， 所以 ， 当时，；当时，， 所以的面积取值范围是，最小值不是，故③错误； 对于④，由，可知为椭圆的下焦点， 由椭圆的定义可知， 又， 所以的周长为，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，故D正确. 39．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； (3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1)6 (2)或 (3)​ 【分析】（1）利用椭圆定义，将两条焦半径之和转化为长轴长． （2）两三角形同底，将面积比转化为点到直线的距离比，再联立直线与椭圆方程求点的坐标． （3）利用关于原点对称的两点坐标及椭圆方程作差，求出两条直线斜率的乘积，再由已知斜率范围求所求范围． 【详解】（1）由椭圆方程得，，，由椭圆定义得，因此的周长为． （2）因为点在椭圆上且在第一象限内，，又，，所以，从而直线的方程为． 设，因为与以为公共底边，且，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍，即，得或． 由得，其判别式，故无实数解； 由得，解得或，代入，对应得或． 因此点的坐标为或． （3）由（2）中直线的方程与椭圆方程联立，得，两根为和，故． 设，，则，且． 由存在知，若，则由椭圆方程得，此时或，均不在内，故，直线的斜率存在． 将两点满足的椭圆方程相减，得，所以． 由及，得，且两端点分别在和时取得． 40．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)， (2)① ； ② 的取值范围；的取值范围 【分析】（1）根据的关系可求点的坐标，根据渐近线的性质可求出斜率的取值范围； （2）①根据直线与双曲线的位置关系即可求解； ②首先根据存在两条切线可求出的范围，然后根据韦达定理可得，最后根据的范围结合反比例函数的性质即可求出的范围. 【详解】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. ◆题型9 向量条件的坐标化转化与韦达应用 41．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 42．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据圆的性质可得点的轨迹方程为，联立方程解得坐标，由题意建立不等式，结合离心率的定义，可得答案. 【详解】设，因为，则， 则点的轨迹方程为以为直径的圆， 又中点为，， 所以点的轨迹方程为． 联立，又， 整理得，即， 则（舍去）或，由题意知点在双曲线的右支上，即， 所以，则，即，则， 所以，又， 则的离心率的取值范围为. 故选：B． 43．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测），抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两条抛物线的焦点，设过焦点的直线方程并联立抛物线方程，结合韦达定理和向量点积条件得到直线参数关系，再计算两个三角形的面积比即可， 【详解】的焦点，的焦点， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得，， 由题知，即，得， ， ，代入得， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得， ， 同理，即，得， ， ，代入得， 故. 44．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标． 【详解】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 45．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【答案】(1)焦距为4，离心率 (2) (3)且 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上， 所以点，直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 2．已知椭圆：的左右顶点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，两点，若直线、的斜率分别为、（，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设过焦点的直线，联立椭圆得到韦达定理，把斜率比值变形，利用验证，得出为定值． 【详解】已知椭圆方程，则， 故，右焦点， 设直线方程为：，， 联立椭圆方程得，整理得 ，即， 由韦达定理得， 故， 的斜率：， 的斜率：， 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 4．已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点差法即可求解． 【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率， 设，代入双曲线方程得， 两式相减得，， 所以， 因为弦中点为，所以， 当时，， 当时，， 又因为点在第一象限，所以， 所以． 5．已知双曲线，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为（   ） A．20 B．15 C．30 D．25 【答案】A 【分析】根据，设，，代入双曲线方程可得，，再利用三角形面积公式和基本不等式求最值. 【详解】根据题意，， 令，即， 分别代入双曲线方程得：， 同理， 两式相加得：， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立，则. 故选：A． 6．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点，准线， 到的距离，等于到的距离. 所以P到直线和的距离之和的最小值等于到直线的距离， 所以最小值为. 二、多选题 7．已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（    ） A．若点，则的最小值为3 B．若点，则的最小值为3 C．抛物线C上存在两点关于直线对称 D．若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 【答案】AD 【分析】对于A，利用抛物线定义将所求距离和转化为到准线的折线路程．对于B，将距离的平方配方求最小值．对于C，结合对称两点的连线斜率及中点位置列式．对于D，由导数求切线方程，利用切线经过准线上的点建立切点横坐标满足的方程，再求纵坐标之和的最小值． 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为，设，则． 过作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义得， 所以． 由三角形不等式得，又在准线上， 故不小于点到准线的距离3，所以． 当时，在上，，且三点共线，在线段上， 此时，故A正确； 对于B，设，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C，假设上存在两个不同的点，关于直线对称， 则，且垂直于该直线，因此，得． 线段的中点为，它在直线上，所以， 从而，即，与两点不同矛盾，故C错误； 对于D，设两条切线的交点为，切点为． 将抛物线写为，由知，在处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 切线经过，故，即． 设两切点的横坐标分别为，则，， 且该方程的判别式，所以任意实数都对应两个不同的切点． 两切点的纵坐标之和为，当且仅当时等号成立， 此时，两切点为，，故D正确． 8．已知双曲线的左、右顶点分别为，，且为的虚轴的一个端点，则（     ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．为定值 D．当的离心率大于3时， 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的焦距定义、渐近线方程，结合平面向量数量积的坐标表示、离心率公式逐一判断即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，因此，， 根据双曲线的对称性，不妨设. A：因为，所以双曲线的焦距为，因此本选项说法正确； B：因为，所以双曲线的渐近线方程为，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以，因此本选项说法正确； D：当的离心率大于3时，则有， 所以，因此本选项说法正确. 9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【答案】ACD 【分析】根据蒙日圆定义代入所过点的坐标即可判断A正确，取点可知，因此B错误，利用点共线特征可知当时，取得最小值再由点到直线的距离公式计算可得C正确，结合矩形与椭圆位置关系写出面积表达式并利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，过点可作椭圆的两条互相垂直的切线：， 所以点在椭圆的蒙日圆上，因此蒙日圆方程为， 由，可得， 所以椭圆的蒙日圆的方程为，即A正确； 对于B，由直线的方程可知点在直线上， 又点满足蒙日圆方程，所以点在圆上， 当，恰为过点所作椭圆两条互相垂直的切线的两个切点时，，即B错误； 对于C，因为在椭圆上，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离为，，即C正确. 对于D，当矩形的四条边均与椭圆相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以矩形的对角线即为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则, 所以矩形的面积， 当且仅当时，等号成立， 即矩形面积的最大值为，所以D正确. 三、填空题 10．倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 11．年月日，小米正式启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：(,).当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______. ①曲线关于轴和轴对称 ②曲线所围成的封闭图形的面积小于 ③曲线上的点到原点的距离的最大值为 ④设，直线交曲线于,两点，则的周长小于 【答案】①② 【分析】将参数代入得到曲线的方程，利用点对称规则验证可判断①正确；类比椭圆性质可知曲线在矩形内部，面积小于8，即②正确；将曲线上的点参数化并利用辅助角公式以及三角函数值域可判断③错误；结合椭圆与曲线的位置关系，利用椭圆定义以及性质可判断④错误. 【详解】易知当，，时，曲线：； 对于①，取曲线上任意一点， 则和也满足曲线的方程，即和也在曲线上； 因此曲线关于轴和轴对称，即①正确； 对于②，易知，即可得； 同理可得； 类比椭圆性质可知曲线在一个由四条直线和组成的封闭的矩形内部， 该矩形长为4，宽为2，矩形面积为，所以曲线所围成的封闭图形的面积小于，即②正确； 对于③，对于曲线上任意一点满足，可设, 点到原点的距离的平方为， 显然当时，，距离平方的最大值为， 所以曲线上的点到原点的距离的最大值为，即③错误； 对于④，对于曲线：和椭圆； 设点在上，点在上， 则， 即可得，所以； 设点在上，点在上， 所以, 即可得，所以; 故椭圆在曲线：的内部（除四个交点外）； 设直线交椭圆于两点，交轴于点， 因此即为椭圆的两个焦点， 由椭圆定义可知， 所以的周长为，结合图形可知的周长大于的周长， 因此的周长大于，即④错误. 12．直线与圆交于，两点，与双曲线交于，两点，若，把线段三等分，则直线的方程是______. 【答案】 【分析】由题意可得线段与的中点重合且弦长满足，直线与圆、双曲线联立方程组，由韦达定理可得中点坐标，由弦长公式可得弦长，建立等式计算求解即可. 【详解】设，直线与圆联立方程， ，得， ， 所以， 所以中点横坐标，弦长， 设，直线与双曲线联立方程， ，得，， ， 所以， 所以中点横坐标，弦长， 由题意可得线段与的中点重合且弦长满足， 所以，即， 因为，所以， 恒成立，，得， 所以， ， 所以，解得， 所以直线的方程是. 四、解答题 13．已知抛物线，其焦点为，准线为．点是上异于顶点的一动点，过点作的切线，与准线交于点．记，称为点P处的焦切准角．当点的横坐标为1时，点在轴上，且此时焦切准角为． (1)求的方程； (2)设点的横坐标为． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）若，求面积的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）；（ii），此时点的坐标为或． 【分析】（1）求出的坐标，根据斜率可求，从而可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，从而可求切线方程，再求出的坐标，结合数量积可求，从而可求或根据夹角公式可求；（ⅱ）根据（ⅰ）中的结果可求的面积或根据坐标平面上三点的面积公式可求面积，结合导数可求最小值及对应的坐标. 【详解】（1）当点的横坐标为1时，，不妨设，则， 由题意得直线的斜率为1，所以，解得， 所以的方程为． （2）解法一：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 则． 所以， ． 则，， 所以， 所以． 解法二：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 直线的斜率，直线的斜率， 则． 若取，同理仍得， 故． （ⅱ）解法一：由（ⅰ）得的面积． 求导得， 由，故，， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时，或．点的坐标为或． 解法二：若，则，即． 在中，，，， 的面积 ． 求导得， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时或．点的坐标为或． 14．已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率与焦距，联立关系式，求出直接写出双曲线方程； （2）由直线与圆相切，用点到直线距离求出参数m；联立直线双曲线，韦达定理算弦长，再求原点到直线距离，用求面积； （3）设定点，直径圆条件转化向量数量积，代入韦达整理为关于m的多项式，令各次项系数为0，解方程组求n. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． （3）略 15．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)当时，取得最小值， 最小值为． (3)设，， 又题设的斜率必存在且，故设， 由可得，整理得， 故 ， 故，故， 故，同理. 因为，故， 故 ， 当且仅当即时，为定值. 【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得； （2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值； （3）设，，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标，同理可求的坐标，从而可用的坐标表示，结合在椭圆上化简前者可得时定值为. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，故， 因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）略. 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线与圆锥曲线的位置关系判定（重） ◆题型2 由位置关系反求参数取值范围 ◆题型3 弦长计算与逆向求解（重） ◆题型4 焦半径和焦点弦问题 ◆题型5 中点弦模型与点差法应用（高频） ◆题型6 三角形与四边形面积计算（高频） ◆题型7 切线与切点弦方程专项 ◆题型8 圆锥曲线的参数范围及最值问题（难） ◆题型9 向量条件的坐标化转化与韦达应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线与圆锥曲线的位置关系判定 1．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（多选）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）（多选）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 5．（2026·福建厦门·二模）（多选）已知曲线与坐标轴交于A，B两点，点在上，则（   ） A． B．为轴对称图形 C．直线与有两个公共点 D．使得的面积为的点恰有2个 ◆题型2 由位置关系反求参数取值范围 6．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．（2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 ◆题型3 弦长计算与逆向求解 11．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 12．（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 15．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． ◆题型4 焦半径和焦点弦问题 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知过抛物线的焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 18．（专题进阶检测（31）26版优化指导高考总复习二轮数学【山东接力】）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 19．（25-26高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 20．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． ◆题型5 中点弦模型与点差法应用 21．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 23．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）（多选）已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的有（   ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．设，则使的点有个 C．设为原点，则直线的斜率 D．曲线以为中点的弦所在直线的方程为 24．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 25．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. ◆题型6 三角形与四边形面积计算 26．（26-27高二上·云南昆明·期中）（多选）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2．点是曲线上一点，且是直角三角形．若的面积为6，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 27．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 28．（26-27高二上·全国·课前预习）已知双曲线: 的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2026·山东·模拟预测）椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 30．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ◆题型7 切线与切点弦方程专项 31．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 34．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 35．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)已知是双曲线外一点，过P引双曲线C的两条切线为切点，求直线的方程. ◆题型8 圆锥曲线的参数范围及最值问题 36．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 38．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（   ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 39．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； (3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 40．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． ◆题型9 向量条件的坐标化转化与韦达应用 41．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测），抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 44．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 45．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的左右顶点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，两点，若直线、的斜率分别为、（，），则（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 5．已知双曲线，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为（   ） A．20 B．15 C．30 D．25 6．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 7．已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（    ） A．若点，则的最小值为3 B．若点，则的最小值为3 C．抛物线C上存在两点关于直线对称 D．若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 8．已知双曲线的左、右顶点分别为，，且为的虚轴的一个端点，则（     ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．为定值 D．当的离心率大于3时， 9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 三、填空题 10．倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 11．年月日，小米正式启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：(,).当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______. ①曲线关于轴和轴对称 ②曲线所围成的封闭图形的面积小于 ③曲线上的点到原点的距离的最大值为 ④设，直线交曲线于,两点，则的周长小于 12．直线与圆交于，两点，与双曲线交于，两点，若，把线段三等分，则直线的方程是______. 四、解答题 13．已知抛物线，其焦点为，准线为．点是上异于顶点的一动点，过点作的切线，与准线交于点．记，称为点P处的焦切准角．当点的横坐标为1时，点在轴上，且此时焦切准角为． (1)求的方程； (2)设点的横坐标为． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）若，求面积的最小值及此时点的坐标． 14．已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $