第4章 第5讲 第2课时 三角函数的图象与性质(二) 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化符号运算与图像直观的融合 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数图像性质|14题（含3道高考/模拟真题）|综合考查对称中心、周期、奇偶性、单调性及零点问题，涉及参数ω、φ求解|从基本三角函数性质出发，通过相位变换（ωx+φ）延伸图像特征，形成“性质判定-参数求解-图像应用”的递进逻辑，培养数学抽象与直观想象素养|

1．函数f(x)＝2tan (2x－)图象的对称中心是(　　) A．(，0) B．(kπ＋，0)，k∈Z C．(＋，0)，k∈Z D．(＋，0)，k∈Z 解析：选D.令2x－＝(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，故函数f(x)图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z. 2．函数f(x)＝cos (－2x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 解析：选A.因为f(x)＝cos (－2x)＝sin 2x，所以T＝＝π，又f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数． 3．若函数f(x)＝3cos (ωx＋θ)对任意的x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()＝(　　) A．±3 B．0 C．3 D．－3 解析：选A.因为函数f(x)＝3cos (ωx＋θ) 对任意的x都有f(＋x)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，可得f()是函数的最值，所以f()＝±3. 4．已知函数f(x)＝cos x，若关于x的方程f(x)＝a在[－，]上有两个不同的根，则实数a的取值范围是(　　) A.[，1) B．[，1] C．[，1) D．[，1] 解析：选C.如图，作出函数y＝cos x，x∈[－，]的图象及直线y＝a.由图可知，当a∈[，1)时，直线y＝a与y＝cos x，x∈[－，]的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)＝a在[－，]上有两个不同的根．所以实数a的取值范围为[，1). 5．(2026·烟台模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)在(－，)上单调递增，且其图象关于点(，0)对称，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C.由函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)在(－，)上单调递增，得≥2[－(－)]＝π，解得0＜ω≤2. 由f(x)的图象关于点(，0)对称，得ω－＝kπ，k∈N，解得ω＝3k＋，k∈N，于是k＝0，ω＝，f(x)＝sin (x－)，所以f()＝sin (×－)＝sin ＝. 6．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：选BC.对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g()≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误． 7．若函数f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝2sin (x－)＋m，则f()＝________． 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝2sin (－)＋m＝－2＋m＝0，得m＝2，即当x≤0时，f(x)＝2sin (x－)＋2＝－2cos x＋2，所以f()＝－f(－)＝－[－2cos (－)＋2]＝－3. 答案：－3 8．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的对称中心是__________________________________________________________． 解析：由f(x)＝cos (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，因为f(x)≤f()恒成立， 所以f(x)max＝f()，即×＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以φ＝－，故f(x)＝cos (x－)，令x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(2kπ＋，0)(k∈Z). 答案：(2kπ＋，0)(k∈Z) 9．(13分)已知直线x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1图象的一条对称轴，其中φ∈(－，). (1)求φ的值；(5分) (2)当x∈[－，]时，求函数f(x)的值域．(8分) 解：(1)由题意得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又φ∈(－，)，所以φ＝. (2)由(1)可知，f(x)＝2sin (2x＋)－1，当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，又y＝sin x在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，当2x＋＝时，x＝，所以函数f(x)在[－，]上的最大值为f()，最小值为f(－)， 又f(－)＝2sin [2×(－)＋]－1＝－2，f()＝2sin (2×＋)－1＝1，所以当x∈[－，]时，函数f(x)的值域为[－2，1]. 10．(2026·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝sin (2ωx－)＋b(ω＞0)的最小正周期为T，且＜T＜，函数y＝f＋1为奇函数，则f()＝(　　) A． B．－1 C．＋1 D． 解析：选B.依题意，f＋1 ＝sin [2ωx＋(ω－1)]＋b＋1， 由y＝f＋1为奇函数，得b＋1＝0，且(ω－1)＝kπ，k∈N，解得b＝－1，ω＝6k＋1(k∈N)，由<T<，得<<，解得<ω<，因此ω＝1，f(x)＝sin －1，所以f＝sin －1＝－1. 11．(2025·天津卷)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，为f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．1 D．0 解析：选A.设f(x)的最小正周期为T，根据题意有m，k∈Z，由正弦函数的对称性可知－＝，n∈Z， 即＝，n∈Z，所以ω＝4n＋2，n∈Z， 又f(x)在[－，]上单调递增， 则≥－(－)，又ω>0，所以≥，解得0＜ω≤2，所以ω＝2，则φ＝＋2kπ，因为φ∈(－π，π)，所以k＝0时，φ＝，所以f(x)＝sin (2x＋)，当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，由正弦函数的单调性可知f(x)min＝sin ＝－. 12．(多选)已知函数f(x)＝tan (ωx－π)(ω＞0)的最小正周期为2π，则(　　) A．ω＝1 B．f(x)图象的对称中心为(2kπ＋π，0)(k∈Z) C．f(x)在(－，)上单调递增 D．f(x＋)是奇函数 解析：选CD.对于A，T＝＝2π⇒ω＝，故A错误；对于B，由选项A知f(x)＝tan (－)， 令－＝，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z)，故B错误； 对于C，当x∈(－，)时，－∈(－，0)，f(x)在(－，)上单调递增，故C正确； 对于D，设函数g(x)＝f(x＋)＝tan ，则g(－x)＝－g(x)，显然g(x)的定义域关于原点对称，故f(x＋)是奇函数，故D正确． 13．(13分)已知函数f(x)＝4sin ωx sin (ωx＋)－1(ω>0)的最小正周期为π.求： (1)ω及f(x)的单调递增区间；(7分) (2)f(x)图象的对称中心．(6分) 解：(1)f(x)＝4sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－1＝2sin2ωx＋2sinωx cos ωx－1＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin (2ωx－). 因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π， 所以ω＝1，所以f(x)＝2sin (2x－)， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).　 (2)由(1)及题意，令2x－＝kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 所以f(x)图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z. 14．(15分)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋cos 2x. (1)求f(x)的单调递减区间；(7分) (2)若函数g(x)＝f(x)－k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．(8分) 解：(1)因为f(x)＝2sin x cos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)， 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为 [kπ＋，kπ＋]，k∈Z. (2)由x∈[0，]，可得2x＋∈[，]，又y＝sin x 在[，]上单调递增，在[，]上单调递减， 所以函数f(x)在[0，]上单调递增， f(x)∈[，2]，f(x)在[，]上单调递减，f(x)∈[1，2]， 所以若函数g(x)＝f(x)－k在[0，]上有两个不同的零点，即直线y＝k与y＝f(x)的图象在[0，]上有两个不同交点，如图所示，所以实数k的取值范围为[，2). 学科网（北京）股份有限公司 $