第4章 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦任意角与弧度制核心概念，通过多题型覆盖角度弧度互化、三角函数定义及扇形计算，构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念转化|题1、8|角度弧度互化、终边相同角表示|从角度制到弧度制的转化，建立角的代数表示与几何意义的联系| |性质应用|题2、3、7、10|三角函数符号判断、终边上点的坐标|以三角函数定义为核心，关联终边位置与函数值符号，强化数形结合| |几何计算|题4、5、13|扇形弧长、面积及实际应用|结合扇形公式，将弧度制应用于几何量计算，体现数学建模| |综合拓展|题6、12、14|多选项判断、复杂情境问题|整合角的对称、集合关系等，提升逻辑推理与综合应用能力|

1．将－1 845°改写成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－10π＋ B．－10π－ C．－12π＋ D．－12π＋ 解析：选C．因为－1 845°＝－6×360°＋315°，所以－1 845°转化成弧度为－12π＋. 2．下列选项中正确的是(　　) A．sin 300°>0 B．cos (－305°)<0 C．tan (－)>0 D．sin 10<0 解析：选D．300°＝360°－60°，则300°角是第四象限角，故sin 300°<0，A错误；－305°＝－360°＋55°，则－305°角是第一象限角，故cos (－305°)>0，B错误；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan (－)<0，C错误；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，D正确． 3．已知P(sin θ，cos θ)是角－的终边上一点，则tan θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B．因为P(sin θ，cos θ)是角－的终边上一点，所以cos (－)＝sin θ＝，sin (－)＝cos θ＝－，则tan θ＝＝－. 4．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2 cm，则小轮每秒转过的弧长是(　　) A．10π cm B．5π cm C． cm D． cm 解析：选C．由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为＝5，因此小轮每秒转的弧度数为＝，所以小轮每秒转过的弧长是×2＝ cm. 5．(多选)小夏同学在学习了任意角和弧度制的知识后，对家里的扇形瓷器盘产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图所示．在扇形OAB中，∠AOB＝，OB＝OA＝2，则(　　) A．∠AOB＝30° B．的长为 C．扇形OAB的周长为＋4 D．扇形OAB的面积为 解析：选BC．因为∠AOB＝＝60°，所以A错误；的长l＝×2＝，所以B正确；扇形OAB的周长为＋4，所以C正确；扇形OAB的面积为S＝lr＝××2＝，所以D错误． 6．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且角θ与角α的终边关于x轴对称，则(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，tan α)在第四象限 解析：选ACD．因为角θ的终边经过点(－2，－)，所以sin θ＝－，A正确；因为角θ与角α的终边关于x轴对称，所以角α的终边经过点(－2，)，则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误；cos α＝－，C正确；因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确． 7．在平面直角坐标系中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆的交点坐标为________． 解析：设角α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，因为sin α＝－，cos α＝，由三角函数的定义，可得x＝cos α＝，y＝sin α＝－，即P(，－). 答案：(，－) 8．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是 ______________________________________________. 解析：由题图，终边为OB的角为2kπ－，k∈Z，终边为OA的角为2kπ＋，k∈Z，所以角θ的集合是{θ|2kπ－≤θ≤2kπ＋，k∈Z}． 答案：} 9．(13分)已知＝－且lg (cos α)有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(6分) (2)若角α的终边上有一点M(，m)，且OM＝1(O为坐标原点)，求实数m的值及sin α的值．(7分) 解：(1)因为＝－，所以sin α<0，所以角α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角．由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，所以角α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．综上所述，角α是第四象限角． (2)因为OM＝1，所以()2＋m2＝1， 解得m＝±.又角α是第四象限角，故m<0， 所以m＝－，所以sin α＝＝－. 10．下列角的终边落在射线y＝x(x≤0)上的是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C．在射线y＝x(x≤0)上任取点A(－1，－)，显然点A在第三象限，故该角是第三象限角，排除A，B两项；对于C，因为tan (－)＝tan (π－)＝tan ＝＝，符合题意，故C正确；对于D，因为tan (－)＝tan (π－)＝tan ＝≠，故D错误． 11．把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，如图，由圆及折叠性质可得OH＝OB，AB∥CD，所以∠OBH＝，所以∠BOD＝，所以∠BOC＝，所以劣弧的长为×2＝. 12．(多选)下列说法正确的是(　　) A．“α为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B．“α＝＋2kπ，k∈Z”是“sin α＝”的充要条件 C．设M＝，N＝{α|α＝，k∈Z}，则“θ∈M”是“θ∈N”的充分不必要条件 D．“sin θ>0”是“tan >0”的必要不充分条件 解析：选AC．因为α为第一象限角，所以2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，则kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角，当k为奇数时，为第三象限角，即充分性成立；当＝时，为第一象限角，但α＝为第二象限角，即必要性不成立，故A正确；当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝成立，即充分性成立；当sin α＝时，α＝＋2kπ，k∈Z或α＝＋2kπ，k∈Z，即必要性不成立，故B错误；M＝{α|α＝kπ±，k∈Z}＝{α|α＝，k∈Z}，而N＝{α|α＝，k∈Z}，则MN，即“θ∈M”是“θ∈N”的充分不必要条件，故C正确；当sin θ>0时，2kπ<θ<2kπ＋π，k∈Z，则kπ<<kπ＋，k∈Z，则tan >0，即充分性成立；当tan >0时，kπ<<kπ＋，k∈Z，则2kπ<θ<2kπ＋π，k∈Z，则sin θ>0，即必要性成立，故“sin θ>0”是“tan >0”的充要条件，故D错误． 13．(13分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成).已知OA＝10 m，OB＝x m(0<x<10)，线段BA，线段CD，与的长度之和为30 m，圆心角为θ. (1)求θ关于x的函数解析式；(4分) (2)记铭牌的截面面积为y m2，试问：x取何值时，y的值最大？并求出最大值．(9分) 解：(1)根据题意得＝xθ m，＝10θ m， 所以2(10－x)＋xθ＋10θ＝30，所以θ＝(0<x<10). (2)y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2 ＝θ(102－x2)＝·(102－x2) ＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50 ＝－(x－)2＋，0<x<10， 所以当x＝时， ymax＝. 综上，当x＝时，y的值最大，且最大值为. 14．如图为某校数学社团用数字软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边△ABC，然后以点B 为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A．14π B．18π C．24π D．30π 解析：选C．由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为×1＝，第二段圆弧长度为×(1＋1)＝，第三段圆弧长度为×3＝2π，第四段圆弧长度为×4＝，第五段圆弧长度为×5＝，第六段圆弧长度为×6＝4π，第七段圆弧长度为×7＝，第八段圆弧长度为×8＝，故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为＋＋2π＋＋＋4π＋＋＝24π. 学科网（北京）股份有限公司 $