第4章 第5讲 第1课时 三角函数的图象与性质(一) 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦三角函数性质与应用，以题载法构建从概念到综合应用的逻辑链条，强化数学思维与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|1-8题|定义域、单调性、最值判断|从三角函数定义出发，结合图像与整体代换法，构建性质应用逻辑| |综合应用|9-14题|图像变换、三角形内角关系、参数范围|通过三角恒等变换与换元法，实现从单一性质到多知识点融合的拓展|

1．函数y＝lg (tan 2x)的定义域是(　　) A．(kπ，kπ＋)(k∈Z) B．(kπ，2kπ＋)(k∈Z) C．(，＋)(k∈Z) D．(，＋)(k∈Z) 解析：选D.由函数y＝lg (tan 2x)有意义得tan 2x＞0，所以kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，所以＜x＜＋，k∈Z，所以函数y＝lg (tan 2x)的定义域是(，＋)(k∈Z). 2．若函数y＝sin x和y＝cos x在区间D上都单调递增，则区间D可以是(　　) A．(0，) B．(，π) C．(π，) D．(，2π) 解析：选D.当x∈(0，)时，y＝cos x单调递减，A错误；当x∈(，π)时，函数y＝sin x和y＝cos x都单调递减，B错误；当x∈(π，)时，函数y＝sin x单调递减，C错误；当x∈(，2π)时，函数y＝sin x和y＝cos x都单调递增，D正确． 3．(2026·南京六校调研)已知函数f(x)＝sin (x＋)－cos x在区间[0，t]上的最小值为－，则t的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.函数f(x)＝sin (x＋)－cos x＝sin x＋cos x－cos x＝sin x－cos x＝sin (x－)，当x∈[0，t]时，x－∈[－，t－]，因为f(x)在区间[0，t]上的最小值为－，所以－＜t－≤，所以0＜t≤，所以t的最大值为. 4．若函数f(x)＝(ω＞0)的最小正周期为4，则在下列区间中f(x)单调递增的是(　　) A.(－1，) B．(，) C．(，3) D．(3，4) 解析：选C.由函数f(x)的最小正周期T＝＝4，可得ω＝， 则f(x)＝|tan (x－)|. 由kπ＜x－＜kπ＋，k∈Z， 解得4k＋1＜x＜4k＋3，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(4k＋1，4k＋3)，k∈Z， 当k＝0时，f(x)在(1，3)上单调递增， 结合选项，只有(，3)⊆(1，3). 5．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．sin 1＞cos 1 B．cos (－)＜cos C．tan (－52°)＞tan (－47°) D．sin (－)＞sin (－) 解析：选AD.对于A，因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，且0＜－1＜1＜，所以sin 1＞sin (－1)＝cos 1，故A正确； 对于B，因为函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，cos (－)＝cos ＝cos ，cos ＝cos ，又因为0＜＜＜π，所以cos ＞cos ，即cos (－)＞cos ，故B错误； 对于C，当－90°＜x＜0°时，函数y＝tan x单调递增，因为－90°<－52°<－47°<0°，所以tan (－52°)＜tan (－47°)，故C错误； 对于D，因为函数y＝sin x在(－，0)上单调递增，又因为－＜－＜－＜0，所以sin (－)＞sin (－)，故D正确． 6．(多选)下列函数中在区间(，)上单调递减的是(　　) A．y＝sin (x＋) B．y＝sin x－cos x C．y＝|sin 2x| D．y＝cos (x－) 解析：选AC.对于y＝sin (x＋)，由＜x＜，得＜x＋＜， 所以y＝sin (x＋)在区间(，)上单调递减，故A正确； 对于y＝sin x－cos x＝2sin (x－)，由＜x＜，得＜x－＜，所以y＝sin x－cos x在区间(，)上单调递增，故B错误； 对于y＝|sin 2x|，由＜x＜，得<2x<π，且此时y＝|sin 2x|＝sin 2x，所以y＝|sin 2x|在区间(，)上单调递减，故C正确； 对于y＝cos (x－)，由＜x＜，得－＜x－＜，所以y＝cos (x－)在区间(，)上不单调，故D错误． 7．已知函数f(x)＝cos (－2x)，x∈[－，]，则函数f(x)的单调递减区间为________________________________． 解析：由题意知，f(x)＝cos (－2x) ＝cos (2x－)， 由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 因为x∈[－，]，令k＝－1， 得－≤x≤－，令k＝0，则≤x≤，即函数f(x)的单调递减区间为[－，－]. 答案：[－，－] 8．函数g(x)＝sin 2x－sin (x＋)(x∈R)的值域为________． 解析：由题知g(x)＝sin x cos x－(sin x＋cos x)＝sin x cos x－(sin x＋cos x). 令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)∈[－，]， 则g(x)＝h(t)＝－t＝(t－1)2－1∈[－1，＋]， 即g(x)∈[－1，＋]. 答案：[－1，＋] 9．(13分)已知函数f(x)＝sin . (1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分) (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．(7分) 解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)当x∈[，]时，≤2x＋≤，所以－1≤sin (2x＋)≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈[，]时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－. 10．已知函数f(x)＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有(　　) A．f(sin A)>f(sin B) B．f(cos A)>f(cos B) C．f(sin A)>f(cos B) D．f(cos A)>f(sin B) 解析：选D.因为A，B是锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，所以0<－B<A<，因为y＝sin x在(0，)上单调递增，所以0<sin (－B)＝cos B<sin A<1，又函数f(x)＝cos x在[0，1]上单调递减，所以f(cos B)>f(sin A)，同理，f(cos A)>f(sin B)，故C错误，D正确；因为角A，B的大小关系不确定，故A，B错误． 11．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)cos x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.f(x)＝sin x cos x－cos2x＝sin2x－·＝sin 2x－cos 2x－＝sin (2x－)－. 因为x∈[－，θ]， 所以2x－∈[－π，2θ－]. 又因为f(x)在区间[－，θ]上是单调函数， 所以－π＜2θ－≤－， 所以－＜θ≤－. 12．(多选)已知函数f(x)＝sin (2x－).若当x∈[m，n](m＜n)时，f(x)∈，则n－m的值可能为(　　) A． B． C． D． 解析：选ABC.f(x)＝sin (2x－)，作出函数f(x)的图象，如图所示． 在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时， f(x)∈[－，]， 则需满足或 所以n－m的值可以为区间[，]内的任意实数． 13．(13分)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(6分) (2)讨论函数f(x)在上的单调性．(7分) 解：(1)因为函数f(x)＝sin 2x－·cos 2x－＝sin (2x－)－，所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为. (2)当x∈[，]时，0≤2x－≤π. 当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在[，]上单调递增，在[，]上单调递减． 14．(15分)(2026·富阳联考)已知函数f(x)＝cos 2 ωx＋sin ωx cos ωx－(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若对于任意的x1，x2∈，当x1>x2时，f(x1)－f(x2)>g(x1)－g(x2)恒成立，求φ的取值范围．(8分) 解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin ωx cos ωx－＝·(1＋cos 2ωx)＋－＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin (2ωx＋)， 又ω>0，T＝＝π，解得ω＝1， 所以f(x)＝sin (2x＋). (2)由题意可得 g(x)＝sin [2(x＋)＋]＝cos (2x＋)， 设h(x)＝f(x)－g(x) ＝sin (2x＋)－cos (2x＋) ＝sin (2x＋－)＝sin (2x＋)， x1，x2∈(－－φ，－＋φ)， 当x1>x2时，f(x1)－f(x2)>g(x1)－g(x2)恒成立，即f(x1)－g(x1)>f(x2)－g(x2)恒成立，即h(x1)>h(x2)恒成立，所以h(x)在区间(－－φ，－＋φ)上单调递增，因为x∈(－－φ，－＋φ)，则2x＋∈(－－2φ，－＋2φ)⊆[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z， 所以k∈Z， 所以 k∈Z，所以0<φ≤. 学科网（北京）股份有限公司 $