第4章 第3讲 两角和、差及倍角公式 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦三角函数恒等变换，以题载法覆盖基础公式应用与综合变换，逻辑链从公式推导到创新应用递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|6题（如1-3题）|给值求值、方程关联，直接应用二倍角、和差角公式|从同角关系到二倍角公式，构建“已知→公式→结论”推导链| |综合变换|5题（如5、9题）|角的配凑（α+π/4=α+π/6+π/12）、多公式联用|公式逆向迁移，形成“角变换→公式选择→符号判断”逻辑| |创新与应用|3题（如14题）|新定义“余弦方差”、跨模块结合|从具象运算到抽象建模，体现数学语言表达现实世界的素养|

1．已知α为第四象限角，且cos 2α＝，则sin α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选C．因为cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sinα＝±，又α为第四象限角，sin α<0，所以sin α＝－. 2．(2025·浙江强基联盟一模)已知sin (α＋β)＝，sin αcos β＝，则sin (α－β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D．由sin (α＋β)＋sin (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β＝2sin αcos β＝，得＋sin (α－β)＝，解得sin (α－β)＝－. 3．已知tan α，tan β是方程x2＋7x－13＝0的两个根，则tan (α＋β)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 解析：选C．由题可知，tan α＋tan β＝－7，tan αtan β＝－13，则tan (α＋β)＝＝－. 4．(2026·长沙模拟)已知角α的终边在射线y＝－2x(x≥0)上，则sin (2α－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A．在角α的终边上任取一点P(1，－2)，故sin α＝＝－，cos α＝＝，sin (2α－)＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝2sin αcos αcos －(cos2α－sin2α)sin＝2×(－)××－(－)×＝－. 5．已知cos (α＋)＝，α∈(0，)，则cos (α＋)＝(　　) A． B． C．－ D． 解析：选C．因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，又cos (α＋)＝， 所以sin (α＋)＝＝， 所以cos(α＋)＝cos [(α＋)＋]＝cos (α＋)cos －sin (α＋)sin ＝×－×＝－. 6．(多选)下列各式中，值为的是(　　) A．sin sin B．－cos215° C．＋ D．cos 72°cos 36° 解析：选AD．对于A，sin sin ＝sin ·cos ＝sin ＝； 对于B，－cos215°＝(1－2cos215°) ＝－cos30°＝－≠； 对于C，＋＝ ＝ ＝＝4≠； 对于D，cos 72°cos 36°＝ ＝＝＝. 7．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin (β＋)＝________． 解析：sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α ＝sin [(α－β)－α]＝－sin β＝， 所以sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cos β＝－＝－， 所以sin(β＋)＝－sin (β＋) ＝－sin βcos －cos βsin ＝. 答案： 8．化简：＝____________． 解析：＝＝ ＝＝. 答案： 9．(13分)已知α∈(，π)，sin α＝.求： (1)sin (＋α)的值；(6分) (2)cos (－2α)的值．(7分) 解：(1)因为α∈(，π)，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 故sin(＋α)＝sin cos α＋cos sin α＝×(－)＋×＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α ＝2××(－)＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝， 所以cos(－2α)＝cos cos 2α＋sin ·sin 2α＝(－)×＋×(－)＝－. 10．(2026·淮阴模拟)已知sin αsin (α＋)＝cos α·sin (－α)，则tan (2α＋)＝(　　) A． B． C．2－ D．－2－ 解析：选D．由sin αsin (α＋)＝cos α·sin (－α)，得sin2α＋sinαcos α＝cos2α－sinαcos α，即(cos2α－sin2α)＝sinαcos α，所以cos 2α＝sin 2α，所以tan 2α＝，所以tan (2α＋)＝＝＝－2－. 11．已知α∈(0，π)，若sin α＋cos α＝sin 2α－cos 2α，则sin (α－)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．因为sin α＋cos α＝sin 2α－cos 2α，所以sin α＋cos α＝sin 2α－cos 2α，所以sin (α＋)＝sin (2α－)，又α∈(0，π)，所以α＋＝2α－或α＋＋2α－＝π，所以α＝，所以sin (α－)＝sin (－)＝sin ＝. 12．(多选)(2025·南京、盐城一模)已知cos αcos β＝，cos (α＋β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos (α－β)＝ C．tan αtan β＝－ D．sin 2αsin 2β＝ 解析：选BC．由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，得sin αsin β＝－，故A错误； cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确； tan αtan β＝＝＝－，故C正确； sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4×(－)×＝－，故D错误． 13．(13分)已知0<β<<α<，cos (－α)＝，sin (－β)＝.求： (1)cos α的值；(6分) (2)sin (α－β)的值．(7分) 解：(1)因为<α<， 所以－<－α<0， 又cos (－α)＝， 所以sin (－α)＝－， 所以cos α＝cos [－(－α)] ＝cos cos (－α)＋sin sin (－α) ＝×＋×(－)＝－. (2)因为0<β<，所以0<－β<， 又sin (－β)＝， 所以cos (－β)＝， 所以sin (α－β) ＝sin [(－β)－(－α)] ＝sin (－β)cos (－α)－cos (－β)·sin (－α)＝×－×(－)＝. 14．对于集合{θ1，θ2，θ3，…，θn}和常数θ0，定义：μ＝ 为集合{θ1，θ2，θ3，…，θn}相对于θ0的“余弦方差”．若集合相对于常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，则T＝________． 解析：由集合{，，π}相对于常数θ0的“余弦方差”是一个常数T， 可得T＝μ＝[cos2(－θ0)＋cos2(－θ0)＋cos2(π－θ0)] ＝[(cosθ0＋sin θ0)2＋(－cos θ0＋sin θ0)2＋cos2θ0] ＝＝. 所以该集合相对于常数θ0的“余弦方差”是一个常数，且常数为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $