第3章 第2讲 导数与函数的单调性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义围绕导数与函数单调性核心考点，依据课标要求梳理导数与单调性关系、充分必要条件等知识，通过考点分类（原函数与导函数关系、不含参及含参函数单调性）、例题精讲、真题训练及分层练习，构建系统复习框架，助力学生突破判断、求单调区间等难点。 资料突出数学思维与数学眼光的培养，如通过函数图象观察导函数符号特征，分类讨论含参函数单调性培养逻辑推理能力。设计判断正误辨析概念、改编题强化应用等活动，配合感悟进阶总结方法，确保高效复习，提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第2讲　导数与函数的单调性 课标要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 常用结论　 用充分条件与必要条件诠释导数与函数单调性的关系 1．f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件． 2．f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件． 3．若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (3)若函数f(x)在定义域上恒有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．(选择性必修第二册P87T1(2)改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性为(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 解析：选D．因为在区间(0，π)上，f′(x)＝－sin x－1＜0恒成立，所以f(x)在(0，π)上单调递减． 3．(选择性必修第二册P86例2改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上，f(x)单调递增 B．在区间(1，3)上，f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上，f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上，f(x)单调递增 解析：选C．由题图可知，f(x)在区间(－2，1)，(1，3)，(3，5)上均不单调，故A，B，D错误；在区间(4，5)上，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在区间(4，5)上单调递增，故C正确． 4．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 解析：函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－＜0，得0＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1). 答案：(0，1) 考点一　函数的单调性与其导函数的关系 　(1)(2026·长沙适应性考试)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) (2)若定义在R上的函数y＝x3f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　) A．[0，1] B．[0，2] C．(－∞，0] D．(－∞，2] 【解析】　(1)由题图可知，函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即f′(x)的图象不能在x轴下方，排除选项A，D．又函数f(x)的图象在x＝0处切线的斜率为0，所以f′(0)＝0，排除选项C． (2)由题图可得，当0≤x≤2时，由y＝x3f′(x)≥0得f′(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上单调递增； 当x＞2时，由y＝x3f′(x)＜0得f′(x)＜0，y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递减； 当x＜0时，由y＝x3f′(x)＞0得f′(x)＜0，y＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为[0，2]. 【答案】　(1)B　(2)B 【感悟进阶】　(1)由原函数图象识别导函数图象的依据 若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴或x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴或x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. (2)由导函数图象识别原函数图象的依据 若f′(x)＞0，则f(x)单调递增，若f′(x)＜0，则f(x)单调递减． 　已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 解析：选C．由题图可得，当x∈(0，1)时，y＝xf′(x)<0，则f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，y＝xf′(x)>0，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－1，0)时，y＝xf′(x)>0，则f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－∞，－1)时，y＝xf′(x)<0，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．结合选项可知C符合题意． 考点二　不含参函数的单调性 　(1)函数f(x)＝(x＋1)e－x＋x2－1的单调递减区间为(　　) A．(－ln 2，0) B．(－∞，－ln 2) C．(－ln 2，＋∞) D．(0，＋∞) (2)函数f(x)＝在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 【解析】　(1)f′(x)＝x(2－e－x)， 令f′(x)＜0，则或 解得－ln 2＜x＜0， 所以f(x)的单调递减区间为(－ln 2，0). (2)由题可得，f′(x)＝， 令g(x)＝sinx－x cos x，x∈(0，π)， 则g′(x)＝cos x－cos x＋x sin x＝x sin x， 因为g′(x)＞0在(0，π)上恒成立，所以函数g(x)在(0，π)上单调递增，所以g(x)＞g(0)＝0，即f′(x)＞0在(0，π)上恒成立，所以函数f(x)在(0，π)上单调递增． 【答案】　(1)A　(2)C 【感悟进阶】　确定不含参函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 　1.下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x 解析：选B．由题意知，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．对于A，f′(x)＝2cos 2x，f′()＝－1<0，不符合题意；对于B，f′(x)＝(x＋1)ex>0在(0，＋∞)上恒成立，符合题意；对于C，f′(x)＝3x2－1，f′()＝－<0，不符合题意；对于D，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－<0，不符合题意． 2．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间为________． 解析：f(x)＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)<0，则0<x<1或1<x<e，故f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，e). 答案：(0，1)，(1，e) 考点三　含有参数的函数的单调性 　(2026·海口模拟节选)已知函数f(x)＝(ax＋1)ex，a∈R，判断函数f(x)的单调性． 【解】　f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，若a＝0，则f′(x)＞0恒成立，f(x)在R上单调递增；若a＞0，则当x＞－时，f′(x)＞0，当x＜－时，f′(x)＜0，故f(x)在(－，＋∞)上单调递增，在(－∞，－)上单调递减；若a＜0，则当x＞－时，f′(x)＜0，当x＜－时，f′(x)＞0，故f(x)在(－，＋∞)上单调递减，在(－∞，－)上单调递增． 【感悟进阶】　(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 　已知函数f(x)＝x2＋a ln x－(a＋1)x，其中a＞0，求f(x)的单调区间． 解：函数f(x)＝x2＋a ln x－(a＋1)x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x＋－(a＋1)＝，若0＜a＜1，当0＜x＜a或x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当a＜x＜1时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，故f(x)的单调递增区间是(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间是(a，1)；若a＝1，f′(x)＝≥0，当且仅当x＝1时取等号，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；若a＞1，当0＜x＜1或x＞a时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当1＜x＜a时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，故f(x)的单调递增区间是(0，1)和(a，＋∞)，单调递减区间是(1，a).综上所述，当0＜a＜1时，f(x)的单调递增区间是(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间是(a，1)；当a＝1时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＞1时，f(x)的单调递增区间是(0，1)和(a，＋∞)，单调递减区间是(1，a). 学科网（北京）股份有限公司 $