第3章 第1讲 导数的概念及运算(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第1讲　导数的概念及运算

课标要求　1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式．　2.通过函数图象，理解导数的几何意义．

3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．

1．导数的基本概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0) 或y′|x＝x0，

即f′(x0)＝ ＝ .

(2)函数y＝f(x)的导函数

f′(x)＝ .

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

3．基本初等函数的导数公式

 

4.导数的运算

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)[]′＝(g(x)≠0).

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

常用结论　

1．奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x0)|反映了变化的快慢，|f′(x0)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)

(3)函数y＝sin 的导数为y′＝cos .(　　)

(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．　(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(选择性必修第二册P78T2改编)下列函数求导正确的是(　　)

A．(sin x－sin )′＝cos x－sin

B．(x cos x)′＝cos x－x sin x

C．(e2x)′＝2ex

D．(2x＋x2)′＝2x＋2x

解析：选B．sin 是常数，其导数为0，故A错误；(x cos x)′＝cos x－x sin x，故B正确；(e2x)′＝2e2x，故C错误；(2x＋x2)′＝2x ln 2＋2x，故D错误．

3．如图，直线l是曲线y＝f(x)在点(5，6)处的切线，则f′(5)＝________．

解析：由题图可知直线l过点(5，6)，(0，2)，所以直线l的斜率为＝，所以f′(5)＝.

答案：

4．(选择性必修第二册P78T3改编)曲线f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为_____________________________________________．

解析：由题意得f′(x)＝ex－，所以f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，所以切点坐标为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.

答案：y＝(e－1)x＋2

5．(用结论)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________．

解析：由常用结论1可知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x).