第2章 第5讲 培优课——函数性质的综合应用 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数性质综合应用，以奇偶性、对称性为基础推导周期性，结合单调性解决求值、比较大小等问题，形成“性质推导-应用拓展”的系统性方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质综合应用|14题（含选择、填空、解答及新定义）|周期推导技巧（如f(x+T)=-f(x)→周期2T）、奇偶性与对称性转化（如偶函数f(-x)=f(x)，对称轴x=a→f(2a-x)=f(x)）、单调性应用（奇函数对称区间单调性一致，利用单调性解不等式）|以奇偶性、对称性为起点推导周期性，结合单调性构建“性质推导-求值/比较/解不等式”的逻辑链条，覆盖核心考法与易错点|

1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2 025.5)＝(　　) A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75 解析：选A．由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期，故f(2 025.5)＝f(1.5)＝－f(－0.5)＝－f(0.5)＝－(1－0.52)＝－0.75. 2．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称且f(5)＝1，则f(2 025)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 解析：选B．因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又f(5)＝1，所以f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1. 3．已知函数f(x＋1)是偶函数，且在[1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 解析：选A．由题知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f(－)＝f(1－)＝f(1＋)＝f()，因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增且3＞＞2，所以b＜a＜c. 4．(2026·石家庄质检)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，满足f(log2a)－f(loga)≤2f(3)，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，) B． C．(0，8] D．[8，＋∞) 解析：选D．因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在R上单调递减．因为loga＝－log2a，所以f(log2a)－f(loga)＝f(log2a)－f(－log2a)＝f(log2a)＋f(log2a)≤2f(3)，即f(log2a)≤f(3)，所以log2a≥3＝log28，所以a≥8. 5．定义在R上的函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g(2x－1)＋1为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心是(　　) A．(－1，－1) B．(－1，1) C．(3，1) D．(3，－1) 解析：选D．因为y＝g(2x－1)＋1为奇函数，所以g(－2x－1)＋1＝－g(2x－1)－1，即g(－2x－1)＋g(2x－1)＝－2，故g(x)图象的对称中心为(－1，－1)，由于函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且(－1，－1)关于直线x＝1的对称点为(3，－1)，故y＝f(x)图象的对称中心为(3，－1). 6．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1，0]上单调递增．则下列命题正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f(x)在[1，2]上单调递增 D．f(2)＝f(0) 解析：选ABD．因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确；因为f(x＋2)＝－f(x)，f(x)为奇函数，所以f(2＋x)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[－1，0]上单调递增，且f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上单调递增．因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上单调递减，故C错误；因为f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)，故D正确． 7．已知f(x)是定义在R上且以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________． 解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，所以f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)<1，所以f(5)＝2a－3<1，解得a<2. 答案：(－∞，2) 8．设函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________． 解析：由f(x)＝＝＝＋4，设g(x)＝，x∈[－2，2]，则g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以函数g(x)在[－2，2]上为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.由题意得所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋8＝8. 答案：8 9．(13分)对于定义在R上的函数f(x)，可以证明“点A(m，n)是f(x)的图象的一个对称中心”的充要条件是“f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，x∈R”．求函数f(x)＝x3＋3x2的图象的一个对称中心． 解：设A(m，n)为函数f(x)＝x3＋3x2的图象的一个对称中心， 则f(m－x)＋f(m＋x)＝2n对于x∈R恒成立，即(m－x)3＋3(m－x)2＋(m＋x)3＋3(m＋x)2＝2n对x∈R恒成立， 所以(3m＋3)x2＋(m3＋3m2－n)＝0. 所以解得 故函数f(x)的图象的一个对称中心为(－1，2). 10．(2025·东北三省四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝(　　) A．－3 B．－1 C．0 D．1 解析：选B．由函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)＝－g(2＋x)，即(2－x－2)f(2－x)＝－(2＋x－2)f(2＋x)，得f(2－x)＝f(2＋x)，因此函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，由g(－1)＝(－1－2)f(－1)＝3，可得f(－1)＝－1，由f(x)为R上的偶函数且其图象的对称轴为直线x＝2，得f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1. 11．(2026·河北部分学校联考)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(x)－1为奇函数，且f(x)在区间[6，8]上单调递增．记a＝f(－33)，b＝f(19)，c＝f(88)，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 解析：选D．根据题意，函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即f(x)＝f(4－x)，又f(x)－1为奇函数，所以f(x)－1＝－(f(－x)－1)，则f(x)＋f(－x)＝2，即f(x)＝2－f(－x)，所以f(4＋x)＝2－f(x)，则f(x＋8)＝2－f(x＋4)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为8.又f(x)在区间[6，8]上单调递增，所以f(x)在区间[－2，0]上也单调递增，又f(x)－1为奇函数，所以f(0)＝1，所以f(－1)＜1，而a＝f(－33)＝f(－1)＜1，b＝f(19)＝f(3)＝f(1)＝2－f(－1)＞1，c＝f(88)＝f(0)＝1，所以a＜c＜b. 12．已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)＞0.若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________． 解析：因为y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，即y＝f(x)是偶函数． 对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)， 令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)， 又f(x)＞0，所以f(－1)＝2， 则f(1)＝f(－1)＝2，所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4， 所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4， 所以f(x＋4)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2. 答案：2 13．(15分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. (1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(7分) (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)因为a＞b，所以a－b＞0， 由题意得＞0， 所以f(a)＋f(－b)＞0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)， 所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b). (2)由(1)知f(x)为R上的增函数， 因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4]. 14．(新定义)(15分)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)都成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P.(结论不要求证明)(6分) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．(9分) 解：(1)因为函数y＝x是增函数，所以函数y＝x不具有性质P.当A＝1，T＝2π时，函数y＝cos x对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，所以y＝cos x具有性质P. (2)设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]，由题意得，f(x＋π)＝2f(x)＝sin (x＋π)，所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]，由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，得f(－π)＝f(π)＝0，所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x，所以当x＝－时，f(x)在[－π，0]上有最大值f(－)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $