第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

1．已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4，若f(－1)＝－2，则f(20)－f(21)＝(　　)

A．－2    B．－1

C．1    D．2

解析：选A．因为f(x)为定义在R上的奇函数且周期为4，所以f(0)＝0，f(20)－f(21)＝f(0)－f(1)＝－f(1)＝f(－1)＝－2.

2．(2026·杭州质检)函数f(x)＝(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既非奇函数也非偶函数

D．既是奇函数也是偶函数

解析：选B．函数f(x)＝定义域为R.当x>0时，－x<0，有f(x)＝x－1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1＝f(x).当x<0时，－x>0，有f(x)＝－x－1，f(－x)＝－x－1＝f(x).综上所述，f(－x)＝f(x)成立，所以函数f(x)为偶函数．

3．已知函数f(x)＝(2x＋a·2－x)cos x为R上的奇函数，则实数a＝(　　)

A．－1    B．1  

C．－2    D．2

解析：选A．因为函数f(x)＝(2x＋a·2－x)·cos x为R上的奇函数，

则f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1.

若a＝－1，则f(x)＝(2x－2－x)cos x，

且定义域为R，则f(－x)＝(2－x－2x)·cos (－x)＝－(2x－2－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)＝(2x－2－x)cos x为R上的奇函数．综上所述，a＝－1.

4．(2026·南京六校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2x－1，则集合{x|f(－x)－f(x)<0}可表示为(　　)

A．(2，＋∞)

B．(－∞，－2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2，0)∪(2，＋∞)

解析：选D．方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).f(－x)－f(x)<0，即－f(x)<f(x)，即f(x)>0.①当x>0时，由log2x－1>0，得x>2；②当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)＋1，由－log2(－x)＋1>0，得log2(－x)<1，解得0<－x<2，所以－2<x<0.③当x＝0时，f(0)＝0，不满足f(x)>0.综上，集合{x|f(－x)－f(x)<0}可表示为(－2，0)∪(2，＋∞).　

方法二(数形结合法)：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(－x)－f(x)<0可以转化为－f(x)－f(x)＝－2f(x)<0，即f(x)>0.当x>0时，f(x)＝log2x－1，f(2)＝0，

作出其图象，如图所示，将这部分图象关于原点对称，得到x<0部分的图象，又f(0)＝0，所以得到函数f(x)在R上的图象，由图可知，f(x)>0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).

5．(多选)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　)

A．f(－1)＝－1    B．g(－1)＝－2

C．f(1)＋g(1)＝1    D．f(1)＋g(1)＝2

解析：选AC．方法一：由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1.

由得f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋1.对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正确；对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B错误；对于C，

D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，故C正确，D错误．

方法二：因为f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，将x＝－1代入得f(－1)－g(－1)＝－1，所以－f(1)－g(1)＝－1，即f(1)＋g(1)＝1，故C正确，D错误；将x＝1代入得f(1)－g(1)＝1，又f(1)＋g(1)＝1，所以f(1)＝1，g(1)＝0，所以f(－1)＝－1，g(－1)＝0，故A正确，B错误．

6．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x，则下列说法正确的是(　　)

A．f(－1)＝－2

B．f(x)在定义域R上为增函数

C．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x

D．不等式f(x－1)＜2的解集为(0，2)

解析：选CD．对于A，因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，

又当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x，所以f(－1)＝f(1)＝2，故A错误；

对于B，由二次函数y＝x2＋x＝(x＋)2－可知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，即f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，故B错误；

对于C，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，则f(x)＝f(－x)＝x2－x，故C正确；

对于D，由f(x)的奇偶性与单调性可知，f(x－1)＜2可化为f(|x－1|)＜f(1)，所以|x－1|＜1，解得0＜x＜2，故D正确．

7．(2025·河南高中创新联盟调研)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)f(x)＝1，若f(0)∈(1，2)，则f(2 026)的取值范围为________．

解析：因为f(x＋2)f(x)＝1，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以4是函数f(x)的一个周期，所以f(2 024)＝f(0)，因为f(0)∈(1，2)，所以f(2 026)＝＝∈(，1).