第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，以定义应用为核心，通过多解法对比构建系统性解题方法，形成概念-性质-应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3题|定义法判断奇偶性、f(0)=0求参数|从奇偶性定义到性质（定义域对称、f(-x)=±f(x)）| |综合提升|4-8题|性质转化法（f(-x)=-f(x)）、数形结合法、递推周期法|奇偶性与周期性结合，构建“定义-性质-应用”链条| |新定义拓展|14题|广义周期函数判定、对称中心推导|从函数基本性质到新定义迁移，发展创新意识|

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后检测，能力达标 「A基础达标 1.已知定义在R上的奇函数x)的周期为4，若一1)=一2，则20)一21)=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：选A.因为x为定义在R上的奇函数且周期为4，所以0)=0,20)一 21)=0)-1)=-1)=-1)=-2 2.(2026杭州质检)函数x)=（) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 解析：选B.函数x)=定义域为R.当x>0时，-x<0,有x=x一1，无-x)= -(-x-1=x-1=x.当x<0时，->0，有x)=-x-1,-x)=-x-1= ).综上所述，一x)=x)成立，所以函数x)为偶函数， 3.已知函数x=(2x+a2cosx为R上的奇函数，则实数a=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析：选A.因为函数)=(2十m2cosx为R上的奇函数， 则0)=1+a=0,解得a=-1. 若a=-1,则x)=(2x-2)cosx, 且定义域为R,则-x)=(2x-2cos(-x)=-(2x-2)osx=-x),所以 函数x=(2x一2cosx为R上的奇函数.综上所述，a=一1. 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.(2026·南京六校联考)已知定义在R上的奇函数x),当x>0时，x=10gx一 1,则集合{x一一x)<0}可表示为() A.(2,十∞) B.(-∞，-2) C.(-∞，-2)U(2,+∞) D.(-2,0)U(2,+∞) 解析：选D.方法一：因为x)是奇函数，所以一x)=一x-x)一x)<0,即 -x)x),即x)>0.①当x>0时，由1ogx-10,得x>2;②当x<0时， x>0,f)=--)=-1og(-x)+1,由-10g(-x+1>0,得1og2(-x)1,解得 0<-x<2,所以-2<x<0.③当x=0时，0)=0，不满足x)0.综上，集合{x x)-x)<0}可表示为(-2,0)U(2,+∞) 方法二（数形结合法）：因为函数x)是奇函数，所以孔一x)=一孔x),则孔一) w)0可以转化为-x)-x)=-2x0,即x)>0.当>0时，x)=1ogx-1, 2)=0, 作出其图象，如图所示，将这部分图象关于原，点对称，得到0部分的图象， 又0)=0，所以得到函数x)在R上的图象，由图可知，x)>0的解集为(-2， 0)U(2,+∞) 5.(多选)已知函数，(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且x)一 g)=x+x2-1,则() A.-1)=-1 B.g(-1)=-2 C.1)+g1)=1 D.1)+g(1)=2 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：选AC.方法一：由)-g)=x3+x2-1得-x)-g(-x)=-x3+x2- 1,又x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以一x)一gx)=一x3十 x2-1. 由得x)=x,(x)=-x2+1.对于A,-1)=(-1)3=-1,故A正确；对于 B,g(-1)=-(-1)2+1=0,故B错误；对于C,D,1)+g(1)=1-1+1=1, 故C正确，D错误. 方法二：因为x)一gx)=x3十x-1,且x)为奇函数，gx)为偶函数，将x=一1 代入得-1)-g(-1)=-1,所以-1)-g(1)=-1,即1)+g(1)=1,故C正 确，D错误；将x=1代入得1)-g(1)=1,又1)十g1)=1,所以1)=1， (1)=0,所以-1)=-1，g(-1)=0,故A正确，B错误 6.(多选)已知函数x)是定义在R上的偶函数，当x∈0，十∞)时，x)=x十 x,则下列说法正确的是() A.-1)=-2 B.x)在定义域R上为增函数 C.当x∈(-∞，0)时，fx)=x2-x D.不等式x一1)<2的解集为(0,2) 解析：选CD.对于A,因为x是定义域为R的偶函数，所以x)=一x), 又当x∈[0，+o)时，x)=x2+x,所以-1)=1)=2，故A错误； 对于B,由二次函数y=x+x=(x十)P一可知，x)在[0，十o∞)上单调递增，又因 为函数)是定义在R上的偶函数，即x)的图象关于y轴对称，所以x)在（一 ∞，O]上单调递减，故B错误； 对于C,当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，十∞)，则x)=-x)=x2-x,故C正确； 对于D,由x)的奇偶性与单调性可知，x一1)<2可化为x一1)<1)，所以 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 x-1<1,解得0<x<2,故D正确 7.(2025·河南高中创新联盟调研)已知函数x)的定义域为R,且x+2)x)= 1,若0)∈(1,2)，则2026)的取值范围为 解析：因为x十2)x)=1,所以x十2)=，所以x+4)===),所以4是函 数)的一个周期，所以2024)=0)，因为0)∈(1,2)，所以2026)== ∈(，I). 答案：(，1) 8.已知函数fx)=x3十，若孔+a一6)=0，则实数a= 解析：因为=x十，定义域为R,所以人-)=一x-=-即x)为奇函 数，因为x)=x3+在R上单调递增，若四十a一6)=0，则=一a-6)= 6-),所以a=6-a,即a=3 答案：3 9.(13分)已知函数x)=是奇函数. (1)求实数m的值：(5分) (2)若函数x)在区间一1，a一2]上单调递增，求实数a的取值范围.(8分) 解：(1)设x<0,则-x0,所以-x)=-(-x)2+2(-x)=-x-2x 又x)为奇函数，所以（一x)=一x), 于是当x<0时，fx)=x2+2x=x2十x, 所以m=2, (2) 要使x在[一1，a一2]上单调递增，结合x)的图象（如图所示）， 知所以1<4≤3，故实数a的取值范围是(1,3]. 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 〔B综合运用 10.(2026·北京期中)若定义在R上的函数x)满足x十2)=x),且当x∈[一1， 1]时，)=1一x2,已知函数gx)=则函数h(x)=w)一gx)在区间[一5,5]内的 零点个数为() A.10 B.11 C.12 D.13 解析：选B.因为fx十2)=)，所以x)的周期为2，当x≤0时，gx)=e单调 递增，当0<x≤1时，(x)=一lgx单调递减，当心1时，g(x)=lgx单调递增， 令h(x)=x)一x)=0,则x)=g(x,即求函数y=x)与y=g(x)的图象在[-5， 5]上的交，点个数，作出y=x)与y=(x)的图象，如图所示 f(x)1y=g(x) -10 所以y=w)与y=g(x)的图象在[-5,5]上有11个交点，则函数h(x)=)-gx) 在区间[-5,5]内的零点个数为11. 11.(2026·武汉调研)已知函数x)满足x+1)=x+x+2).若1)=2,11)= 3,则2025)=() A.1 B.-1 C.5 D.-5 解析：选D.方法一：因为x十1)=x)+x+2),所以x+2)=x+1)+x十 3),两式相加得x+1)+x+2)=x)+x+1)+x+2)+x+3),所以x+x +3)=0,x)=一x+3)=x+6),所以w是周期为6的周期函数.因为2025 =6×337+3,所以2025)=3)=2)-1)，2)=-5)=-11)=-3，所以 2025)=-3-2=-5. 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 方法二：1)=2，设2)=a,由x+1)=w+x+2),得x+2)=x+1)- f). 当x为正整数时，函数x)可以看作第一项为2，第二项为4，递推公式为孔x十 2)=x十1)-x)x∈N)的数列，即从第3项起，在连续的3项中，第3项等丁 第2项与第1项的差. 可得3)=2)-1)=a-2,4)=3)-2)=-2,同理得5)=-a,6)=-4 +2,7)=2,8)=a,… 观察发现，函数x)是周期为6的周期函数，则11)=5)=一a=3,得a=一 3,因为2025=6×337+3，所以2025)=3)=a-2=-5 12.(多选)已知是定义域为R的偶函数，f为奇函数，当x∈[一1,0]时，x) =3x一，) A.当x∈[0,1]时，x)=3x- B.当x∈[1,2]时，x)=-3x+2+ C.x在(3,4]上单调递增 D.2026)=一 解析：选ACD.对于A,由x)为偶函数，得x)=-,当x∈[0,1]时，一 x∈[-1,0]，则-x)=3x-=x),即当x∈[0,1]时，)=3x-,故A正确； 对于B,由+)为奇函数， 则有孔+)=一孔一+)， 即x+1)=--x+1), 即x)=--x+2), 故当x∈[1,2]时，-x+2∈[0,1]， 则-x+2)=3（-*)-=一)， 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即x)=一32十，故B错误， 对于C,由x)=一x),则（一x)=一术-x+2),则x)=一x+2), x+2)=-x+4)=-x), 即x十4)=x),故x)是周期为4的周期函数，由当x∈[一1,0]时，)=3x 一，可得x)在[一1,0]上单调递增， 故x在(3,4]上单调递增，故C正确； 对于D,2026)=4×506+2)=2)=-322+=-,故D正确， 13.(15分)设x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有x+2)=一 .当x∈[0,2]时，x)=2x-x2 (1)求证：x)是周期函数；(3分) (2)当x∈[2,4]时，求x的解析式：(6分) (3)计算f0)+1)+2)+…+2026).(6分) 解：(1)证明：因为x+2)=一x), 所以x+4)=一x+2)=x), 所以x)是周期为4的周期函数 (2)当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2]， 由已知得-x)=2(-x)-(-)2=-2x-x2. 又x是奇函数， 所以-x)=一x)=-2x-x2, 所以x=x2+2x. 又当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， 所以x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又x是周期为4的周期函数， 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以x)=x-4)=(x-4)2+2(x-4=x2-6x+8. 故当x∈[2,4]时，x)=x2-6x+8. (3)0)=0,1)=1,2)=0,3)=-1. 又x是周期为4的周期函数， 所以0)+1)+2)+3)=4)+5)+6)+7)=…=2020)+2021)+2 022)+2023)=0, 2024)+2025)+2026)=0)+1)+2)=1,所以0)+1)+2)+…+2 026)=1. 〔C素养提升 14.(新定义)（多选）2026·长沙适应性考试)已知函数x)的定义域为R,若存在 常数T与H,且T>O,使得对任意x∈R,恒有x+)=x+H,则称函数x) 是广义周期函数.下列说法正确的有() A.函数孔x)=x十b(k,b为常数)是广义周期函数 B.若)是广义周期函数，则存在实数k,使得x)一x是周期函数 C.若)的图象有两个不同的对称中心，则x)是广义周期函数 D.若)与g()都是广义周期函数，则x十g()也是广义周期函数 解析：选ABC,对于A,x+T)=(x+TD十b=x+kT+b=x)+T(TO),令 H=T,则有x十T=x)+H,所以x)=x十b(k,b为常数)是广义周期函数， 故A正确； 对于B,令g=x)-,则有g(x十TD=x+T一x十T)=x)+H-c一T= gx)十H-kT,当H-T=0,即k=时，函数gx)=x)一x是周期函数，故B 正确； 对于C,若函数x)的图象有两个不同的对称中心，分别设为A(a,b),B(c, 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 d),且c>a,则有x)+2a-x)=2b,2a-x)+2c-2a+x)=2d,两式相减得， fw-2c-2a+x=2b-2d,即x+2c-2四=x)+2d-2b,令T=2c-2a>0, H=2d-2b,则有x+T=x)十H,所以函数x)是广义周期函数，故C正确； 光速解：因为函数x)的图象有两个不同的对称中心，所以函数x)一定是周期 函数，满足广义周期函数的定义（此时H=0),故C正确； 对于D,因为x)和gw)均为广义周期函数，则存在T1,H1,且T10,x十T) =x)十H1;存在T2,H2,且T>0,g(x+T)=gx)十H2.若存在，n∈N*,使得 T=mT1=nT2,Ax+T)+gx+T)=Ax+mT)+g(x+nT2)=fx)+mH+g(x)+ nH2,令H=mH1十H,即x+T)+g(x+T)=x)+g(x)十H,此时函数x)十 g(x)是广义周期函数.若不存在m,n∈N,使得T=mT1=nT2,如T与T一个 是有理数另一个是无理数时，函数x十gx)不是广义周期函数，故D错误 ·独家授权侵权必究·