课时9 函数的周期性与对称性（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习 数学 课时冲关9函数的周期性与对称性 对应学生用书P249 [基础巩固练] 解析：C[f(x)是奇函数，则f(-x)=一f(x), 一、单选题 又f(1十x)=f(-x), 1.函数y=-e与y=e的图象 所以f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 +1)=f(x), C.关于原点对称 f(x)是周期为2的周期函数， D.关于直线y=x对称 解析：C[画出草图，根据图象即可判断出函数 f27)=f-昌+1014)f)2] 图象关于原点对称.门 5.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)一1为奇函 数，f(x十2)为偶函数，则f(1)+f(2)十…+ f(16)= ( A.0 B.16 C.22 D.32 解析：B[因为f(x)一1为奇函数，则f(0)=1, 2.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,一2)，则 且函数f(x)的图象关于(0,1)中心对称，即 函数y=一f(一x)的图象必过点 () f(x)十f(-x)=2, A.(-1,2) B.(1,2) 因为f(x十2)为偶函数，所以f(x十2)=f(2-x), C.(-1,-2) D.(-2,1) 则f(x十4)=f(-x), 解析：A[函数y=f(x)与y=一f(一x)的图 象关于原点对称，又y=f(x)的图象经过点P 所以f(x)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(x+8) (1,一2)，则函数y=一f(一x)的图象必过点 =2,所以f(x)=f(x十8)，故f(x)的周期为8， (-1,2).] 因为f(1)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+ 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)= f(7)=2,f(4)+f(8)=2, f(x+5),且f(-1)=1,则f(2025)+f(2026) ( 所以f(1)+f(2)+·+f(16)=2[f(1)+f(2) A.-1 B.0 C.1 D.2 +…+f(8)]=16.] 解析：A[因为函数f(x)是定义在R上的奇函 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(1十x)=f(1一x) 数，f(-1)=1, +f(x),则f(2024)+f(2026)= 所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),所以f(1)=-1, 又f(x)=f(x十5)，所以函数f(x)是周期为5 A.-1 B.0 C.1 D.2 的周期函数， 解析：B[因为函数f(x)的定义域为R,且 则f(2025)+f(2026)=f(405×5)+f(405×5 f(1+x)=f(1-x)+f(x), +1)=f(0)+f(1)=-1.] 令-x代x,可得f(1-x)=f(1十x)十f(-x), 4.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1十x)= 5(-0.如果()2那么f(2) f(1+x)=f(1-x)+f(x) 联立 ,可得f(一x) f(1-x)=f(1+x)+f(-x) =-f(x), A.-号B.-C2 D.号 所以f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, ·310· 第二章函数 由f(1十x)=f(1-x)+f(x),令x+1代x, 8.定义在R上的函数f(x)的导函数为g(x),且 可得f(.x十2)=f(-x)+f(x+1)=f(-x)十 满足下列条件：f(2x)+f(-2一2x)=0,g(2.x) f(1-x)+f(x), =一g(2-2.x),且f(1)=1.则下列正确的是 因为f(-x)=-f(x),所以f(x十2)=f(1-x), ( 令x+1代x,则f(.x十3)=f(-x)=-f(x), A.y=g(x)周期为8 令x+3代x,则f(x十6)=-f(x+3)=f(x), B.y=g(2x)图象关于(1,0)对称 所以函数f(x)是周期为6的周期函数。 C.y=f(x)关于(-1,0)对称 由f(1+x)=-f(1-x)+f(x), D.gr0)=0 令x=1,可得f(2)=f(0)+f(1)=f(1), 解析：ACD[对于A,B,因为g(2x)=-g(2-2x), 令x=2,可得f(3)=f(-1)+f(2)=f(2) 则g(x)=一g(2-x),则g(1十x)=一g(1一x) f(1)=0, 可知g(x)的图象关于(1,0)中心对称，知g(2x) 令x=3,可得f(4)=f(-2)+f(3)=-f(2) =-f(1), 的国象关于（合0）中心对称，B错误： 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(1), 因为f(2x)+f(-2-2x)=0, f(2026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1), 则f(.x)=-f(-2-x), 所以f(2024)+f(2026)=f(1)-f(1)=0.] 两边求导数可得f(x)=f(-2一x), 二、多选题 即得g(x)=g(-2-x), 所以g(2-x)=-g(-2-x),即得g(2+x)= 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(4 -g(-2十x), -x)+f(.x)=0,f(1)=3,则 所以g(4十x)=-g(x),g(8十x)=-g(x+4) A.f(-2)=0 =g(x), B.f(7)=3 所以函数g(x)的周期为8，A正确； C.f(3)+f(9)=0 对于C,因为f(2x)+f(一2-2.x)=0则f(x) D.f(x)的图象关于y轴对称 =-f(-2-x), 解析：AC[因为f(x)是奇函数，所以f(一x) 所以f(-1-x)=一f(-1十x),函数f(x)关 =-f(x), 于（一1,0）对称，C正确； 因为f(4-x)十f(x)=0, 对于D,因为g(x)的图象关于(1,0)中心对称， 所以f(4-x)=-f(x)=f(-x),所以f(x)= 所以f(x)关于x=1对称，所以f（1一x) f(x+4),所以f(-2)=f(2). =f(1十x), 因为f(4-x)十f(x)=0,所以f(4-2)+f(2)=0, 又f(x)=-f(-2-x),所以f(1+x)= 所以f(2)=0,即f(一2)=0，则A正确. -f(-3-x)=f(1-x),可得-f(-3十x) 令x=1,得f(3)十f(1)=0.因为f(1)=3,所 =f(1+x), 以f(3)=-3,所以f(7)=f(3)=一3，则B 所以f(x十8)=-f(x十4)=-(-f(x)= 错误， f(x),所以函数f(x)周期为8， 因为f(.x)=f(x+4),所以f(9)=f(5)-f(1) 因为f(1+x)+f(-3十x)=0,所以f(1十x) =3,所以f(3)+f(9)=0,则C正确. +f(5+x)=0, 因为f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点 所以f(1)+f(5)=0,f(2)+f(6)=0,f(3)+ 对称，则D错误.] f(7)=0,f(4)+f(8)=0, ·311… 高考总复习数学 所以f(1)十f(2)+f(3)+f(4)十…+ (2)若当x∈[-2,2]时，f(x)=-x2十1，求当 f(2024)=253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+ x∈[2,6]时，f(x)的解析式. …十f(8)] 解：(1)由函数y=f(x)的图象关于直线x=2 =253[f(1)+f(5)+f(2)+f(6)+f(3)+ 对称， f(7)十f(4)+f(8)]=0,D正确.] 所以f(x十2)=f(2-x),即有f(-x)=f(x+4), 三、填空题 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，有f(一x) 9.若定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)十f(x)= =f(x), 0,且f(-1)=-3,则f(2027)= 所以f(.x+4)=f(-x)=f(x), 解析：因为f(x+2)十f(x)=0,所以f(x十2) 即f(x)是周期为4的周期函数； (2)当x∈[-2,2]时，f(x)=-x2+1, =-f(x),所以f(x十4)=-f(x十2)=f(x), 又f(x)是周期为4的周期函数， 4为f(x)的一个周期，则f(2027)=f(507×4 当x∈[2,6]，则x-4∈[-2,2]， -1)=f(-1)=-3. 所以f(.x)=f(.x-4)=-(x-4)2+1, 答案：-3 所以f(x）=-(x-4)2+1,x∈[2,6]. 10.已知函数y=f(x)的图象既关于直线x=1对 12.经研究，函数y=f(x)为奇函数的充要条件是 称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时， 函数y=f(x一a)+b图象的对称中心为点(a, fx)=2024则f(2021)= b),函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心 解析：因为函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称图形的充要条件是函数F(x)=f(x十a) 一b为奇函数，由F(x)十F(一x)=0得函数y 对称，所以f(-x)=f(2十x), =f(x)关于点(a,b)成中心对称图形的充要条 因为函数y=f(.x)的图象关于点(2,0)对称， 件是f(a十x)+f(a-x)=2b. 所以f(-x)=一f(4十x), (1)已知函数f(x)=mx5+n.x3+3,且f(5)= 所以f(x十2)十f(x+4)=0, 2,求f(-5)的值： 所以f(x)-f(x+4)=0,即f(x)=f(x十4)， 所以函数f(x)的周期为4， (2)证明函数g(x)=31十13图象的对 x2-4.x+5 由f(-x)=-f(4+x)得f(1)=-f(3), 称中心为(2,3)： 即f(3)=-f(1), (3)已知函数h(x)=x3-3.x2,求h(-7)+ 又因为当x∈[0,1]时，f(x)=2024' h(-6)+h(-5)+…+h(8)+h(9)的值. 解：(1)f(x)=m.x十n.x3十3， 所以f(1)=2024' 1 ∴.f(-x）=-mx5-nx3+3, ,函数y=m.x5十nx3为奇函数，.函数f(x) 所以f(2027)=f(4×506+3)=-f(1) =m.x5十n.x3+3的图象关于点(0,3)对称， 1 2024 .f(x)十f(-x)=6,.f(5)+f(-5)=6, 1 ∴.f(-5)=4; 答案：一2024 (2):g(x)=32-11x+13_c-2 x2-4x十5x2-4.x+5 +3 四、解答题 11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y x-2 x-2)2+1+3, f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数 令F(x)=g(x十2)-3=，x x2十1' ·312· 第二章函数 则g(x)=F(x-2)十3 对于A,f(.x十4)=-f(x十2)十4=-[-f(x) x∈R,定义域关于原点对称，F(x)=一F(一x), 十4]一4=f(x),f(x)是周期为4的周期函数，A .F(x)为奇函数 正确； :函数g(x)=3江-1x+13图象的对称中心 对于B,由f(2-x)十f(x十2)=4，得f(x)的 x2-4x+5 图象关于点(2,2)对称，B错误： 为(2,3)」 对于C,f(-2)=f(2)=2,由f(x)十f(x十2) (3)假设函数h(x)=x3-3.x2图象有对称中心 =4,得f(-3)+f(-1)=4=2f(-2), 且对称中心为(a,b), 因此f(-3),f(-2),f(-1)成等差数列，C 则h(a十x)+h(a-x)=2b,.(a十x)3-3(a 正确； +x)2+(a-x)3-3(a-x)2=2b, 对于D,f(1)+f(3)=4,f(2)+f(4)=4,因此 .(6a-6)x2+2a3-6a2=2b, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9) /a6=0, =2[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=16, .a=1,b=-2, D正确.门 2a3-6a2=2b, 14.[多选]已知函数f(x)的定义域为R,若满足 .函数h(x)=x3一3x2有对称中心(1，一2)， f(2-x)+f(x-1)=-1,且函数f(x)图象关于 .h(1+x)+h(1-x)=-4, (1,0)中心对称，则 ( 令S=h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8) A.f(0)=-1 +h(9),S=h(9)+h(8)十h(7)+…+h(-6) B.f(2026)=2025 +h(-7), C.f(x+2026)=f(x) 相加得2S=[h(-7)十h(9)]+[h(-6)十 h(8)]+…+[h(9)+h(-7)]=17×(-4), D罗0=-165 解析：ABD[对于A,因为函数f(x)的定义 ∴.h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8)+ 域为R,且函数f(x)图象关于(1,0)中心对称， h(9)=-34. 所以f(2-x)+f(x)=0, [能力提升练] 又f(2-x)+f(.x-1)=-1, 13.[多选]已知函数f(x)的定义域为R,若f(3.x 所以f(x)-f(x-1)=1, +1)为偶函数，f(.x+2)-2为奇函数，且f(1) 取x=1可得f(1)-f(0)=1, =0,则 ( 又f(1)=0,所以f(0)=-1,故A正确； A.f(x)为周期函数 对于B,由f(x)-f(x-1)=1可得f(2026) B.f(x)的图象关于点(2,1)对称 -f(2025)=1,f(2025)-f(2024)=1,…, C.f(-3),f(-2),f(-1)成等差数列 累加之后可得f(2026)=2025,故B正确； D.f(1)+f(2)+f(3)+.+f(9)=16 对于C,由f(0)=-1和f(2026)=2025可 解析：ACD[函数f(x)的定义域为R,由 得周期不是2026，故C错误； 对于D,由函数f(x)图象关于(1,0)中心对称 f(3.x+1)为偶函数，得f(-3.x+1)=f(3.x十 且f(0)=-1,f(2-0)+f(0)=0→f(2)=1, 1),则f(2-x)=f(x), 由f(x十2)一2为奇函数，得f(-x十2)一2= 所以罗)=f(-2026)+f(-2025)+ -[f(x+2)-2],则f(2-x)+f(x十2)=4， …+f(2025)+f(2026)=-2027-2026 于是f(x)+f(x+2)=4,即f(x+2)= …-1+0+1+…+2024+2025=-4053, -f(x)十4， 故D正确.] ·313·