第2章 第1讲 函数的概念及其表示(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示，覆盖定义域求解、函数表示法、分段函数应用等高考核心考点，依课标要求构建“概念梳理-表示方法-分段函数”知识体系，通过判断正误、改编题夯实基础，结合考点例题（如复合函数定义域、解析式求法）、感悟进阶及分层练习，系统指导学生突破难点。 讲义以数学思维（逻辑推理、分类讨论）和数学语言（符号表达）为导向，创新设计“考点例题+方法总结+分层训练”教学链，如求分段函数值采用“内到外代入法”，求解析式运用换元法与方程组法，设置基础巩固、能力提升题组，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1讲　函数的概念及其表示 课标要求　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数，理解函数图象的作用．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)函数的表示法：表示函数的常用方法有 解析法、图象法和列表法． (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 提醒　若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2(x≥0)与y＝x2. 2．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 提醒　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 常用结论　 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　) (3)函数f(x)＝的定义域为R.(　　) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)(必修第一册P72习题T2改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1与g(x)＝－1 C．f(x)＝x2与g(x)＝()4 D．f(x)＝x2与g(x)＝ 答案：AD 3．函数f()＝，则函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝(x≠0且x≠－1) D．f(x)＝(x≠－1) 解析：选C．令t＝，t≠0且t≠－1.则有x＝，所以f(t)＝＝，t≠0且t≠－1，所以f(x)＝，x≠0且x≠－1. 4．函数f(x)＝＋－1的定义域为 ________． 解析：由解得－3≤x≤1，所以f(x)的定义域为[－3，1]. 答案：[－3，1] 5．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________． 解析：因为f(－3)＝＝0，所以f(f(－3))＝f(0)＝. 答案： 考点一　函数的定义域 　(1)函数y＝＋的定义域是(　　) A．[－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1] C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1] (2)(2026·长沙月考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　) A．(－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．[－2，5] 【解析】　(1)由题意得解得－1<x<0或0<x<1.所以该函数的定义域是(－1，0)∪(0，1). (2)由函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，得－1≤x≤3，则－3≤2x－1≤5，因此在函数y＝中有解得－2<x≤5，所以y＝的定义域为(－2，5]. 【答案】　(1)C　(2)A 【感悟进阶】　(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式(组)求解．对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 注意　定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“∪”连接． 　(2026·惠州质量检测)若函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)，则实数a＝ ________，实数b的取值范围是________． 解析：由题意得则 因为函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)，所以－a＝3，b<3，即a＝－3，b<3. 答案：－3　(－∞，3) 考点二　函数的解析式 　(1)已知f(1－)＝1－x，求f(x)的解析式； (2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，求f(x)的解析式． 【解】　(1)令1－＝t，t∈(－∞，1]， 则x＝(1－t)2，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈(－∞，1]. 即f(x)＝2x－x2，x∈(－∞，1]. (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b，所以2ax＋b＝2x＋2， 则a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c. 又x2＋2x＋c＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c＝0，则c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1. (3)因为f(x)－2f(－x)＝2x，① 所以f(－x)－2f(x)＝－2x，② 由①＋②×2化简得，f(x)＝x. 【感悟进阶】　求函数解析式的四种方法 　1.若函数f＝x2＋，则f(x)＝________． 解析：函数f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，又y＝x－的值域为R，所以f(x)＝x2＋2(x∈R). 答案：x2＋2(x∈R) 2．已知一次函数f(x)满足f(f(x)－2x)＝3，则f(x)＝________． 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x)－2x)＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3， 所以解得 所以f(x)＝2x＋1. 答案：2x＋1 3．已知函数f(x)对任意x满足3f(x)－f(2－x)＝4x，则f(x)＝________． 解析：由题意知3f(x)－f(2－x)＝4x，① 用2－x代替x，得 3f(2－x)－f(x)＝8－4x，② 由①×3＋②化简可得f(x)＝x＋1. 答案：x＋1 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 　(2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0， 所以f(f(－1))＝f(0)＝e0＋ln 1＝1. 【答案】　B 【感悟进阶】　求分段函数的函数值，先确定自变量的取值属于哪一段区间，再代入该段区间所对应的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 角度2　分段函数与方程、不等式问题 　已知函数f(x)＝则若f(a)＝－1，则a＝________；不等式f(x)≤2的解集为________． 【解析】　当a＜0时，f(a)＝a2－2a＝－1，解得a＝1(舍去)，当a≥0时，f(a)＝－2a＋3＝－1，解得a＝2，符合题意． 当x＜0时，由f(x)＝x2－2x≤2， 解得1－≤x＜0，当x≥0时，由f(x)＝－2x＋3≤2，解得x≥，故不等式f(x)≤2的解集为[1－，0)∪[，＋∞). 【答案】　2　[1－，0)∪[，＋∞) 【感悟进阶】　解与分段函数有关的方程、不等式时，若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 　1.设f(x)＝ 则f(9)＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：选C．f(9)＝f(f(9＋7))＝f(f(16))＝f(16－2)＝f(14)＝14－2＝12. 2．(2026·杭州期中)若函数f(x)在定义域[a，b]上的值域为[f(a)，f(b)]，则称f(x)为“Ω函数”．已知函数f(x)＝是“Ω函数”，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，10] B．[4，14] C．[10，14] D．[10，＋∞) 解析：选C．由题意可知f(x)的定义域为[0，4]，又因为函数f(x)是“Ω函数”，故其值域为[f(0)，f(4)]，而f(0)＝0，f(4)＝m，则f(x)的值域为[0，m]；当0≤x≤2时，f(x)＝5x∈[0，10]，当2<x≤4时，f(x)＝x2－4x＋m图象的对称轴为直线x＝2且开口向上，则f(x)在(2，4]上单调递增，则f(x)∈(m－4，m]，故由函数f(x)是“Ω函数”可得解得10≤m≤14，即实数m的取值范围是[10，14]. 3．(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x＝－ D．f(x)<1的解集为(－1，1) 解析：选BC．函数f(x)＝ 的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x＜1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x＜1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $