第1章 第1讲 集合(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义围绕集合核心考点，涵盖元素特征、集合关系、运算及常用结论，按“元素-关系-运算”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破空集讨论、子集个数等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以核心素养为导向，如考点二通过元素形式转化培养数学思维的推理能力，考点四新定义问题发展数学眼光的抽象与创新意识。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第1讲　集　合 课标要求　1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．　3.理解并会求并集、交集、补集，能用Venn图表示集合的关系与运算． 1．集合与元素 (1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的表示方法：列举法、 描述法、图示法． (4)常见数集的记法 数集 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 　 表示 关系 　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A AB 或BA 集合 相等 集合A，B中元素相同 A＝B 提醒　(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论； (2)任何集合都是自身的子集，即A⊆A． 3．集合的基本运算 　 类别 表示 　 并集 交集 补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 常用结论　 1．子集的传递性 A⊆B，B⊆C⇒A⊆C． 2．集合的子集个数 若有限集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 3．等价关系 A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 4．灵活应用两个性质 ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){0，2，1}和{0，1，2}不是同一个集合．(　　) (2)集合{x|x＝x3}用列举法表示为{－1，1}．(　　) (3)若集合{x2，1}＝{0，1}，则x＝0.(　　) (4){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设集合A＝{x|x≥－1}，则下列四个关系中正确的是(　　) A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A 解析：选A．由题意知，集合A＝{x|x≥－1}表示所有不小于－1的实数组成的集合，所以1是集合A中的元素，故1∈A． 3．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析：选C．由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素．故选C． 4．(必修第一册P14T1改编)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝ ____________，A∩B＝____________． 解析：因为A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，借助数轴如图1，所以A∪B＝R.如图2，所以A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． 答案：R　{x|－1<x≤1或4≤x<5} 5．(用结论)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是_____________________________________． 解析：由A∪B＝B，可得A⊆B，在数轴上表示出集合A，B，如图．所以a≤1. 答案：(－∞，1] 考点一　集合的基本概念 　(1)已知集合A＝{x|2x－a>0}，且1∉A，2∈A，则(　　) A．a>4 B．a≤2 C．2<a≤4 D．2≤a<4 (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a的值为________． 【解析】　(1)因为1∉A，所以2×1－a≤0，解得a≥2，又因为2∈A，所以2×2－a>0，解得a<4，所以2≤a<4. (2)由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故b－a＝2. 【答案】　(1)D　(2)2 【感悟进阶】　解决集合含义问题的关键点 (1)确定集合中的代表元素． (2)确定元素的限制条件． (3)检验元素特性，注意集合中元素的互异性． 　已知集合A＝{3，5}，B＝，C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合C中所有元素之和为________． 解析：由题意得，C＝{，，，}，则集合C中所有元素之和为＋＋＋＝5. 答案：5 考点二　集合间的基本关系 　(1)已知集合M＝{x|x＝k＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋1，k∈Z}，则(　　) A．MN B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ (2)(2026·南京、盐城模拟)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 【解析】　(1)M＝{x|x＝k＋，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x| x＝＋1，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以MN. (2)由x2－4≤0可得A＝[－2，2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2，故D正确． 【答案】　(1)A　(2)D 【感悟进阶】　(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 　1.(2026·潍坊模拟)已知集合A＝{x∈N|x3＜27}，则A的子集的个数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：选B．由x3＜27，解得x＜3，所以A＝{x∈N|x3＜27}＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8个． 2．已知集合A＝{x|ax＝1，a∈R}，B＝{－1，1}，且A⊆B，则a的取值集合为(　　) A．{－1} B．{－1，1} C． {0，1} D．{－1，0，1} 解析：选D．当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，A＝{}，又A⊆B，所以＝1或＝－1，所以a＝1或a＝－1.故a的取值集合是{－1，0，1}． 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的基本运算 　(1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} (2)(2026·烟台模拟)已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．(－3，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(2，3) 【解析】　(1)由题意得A∪B＝{1，2，3，5}，U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D． (2)解不等式x2＋2x－3＜0，得－3＜x＜1，即A＝(－3，1)，由B＝[0，2]，得∁UB＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝(－3，0). 【答案】　(1)D　(2)A 【感悟进阶】　集合基本运算的步骤 (1)确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件，如函数的定义域、值域，一元二次不等式的解集等； (2)化简集合：根据元素满足的条件解方程(组)或不等式(组)，得出元素满足的最简条件，将集合清晰地表示出来； (3)运算求解：利用交集、并集或补集的定义求解，必要时可应用数轴或Venn图来直观解决． 角度2　利用集合的运算求参数 　已知集合A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若B∩(∁RA)＝∅，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(－∞，9] C．(－∞，3]∪[9，＋∞) D．[3，9] 【解析】　因为B∩(∁RA)＝∅，所以B⊆A，由题得B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，A＝{x|－2≤x≤10}． 当B＝∅时，满足B⊆A， 此时1－m＞1＋m，解得m＜0； 当B≠∅时，则有 解得0≤m≤3. 综上，实数m的取值范围为(－∞，3]. 【答案】　A 【感悟进阶】　利用集合的运算求参数的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍． (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 易错点　在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 　1.(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：选D．由题意可得B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D． 2．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋3}，B＝{x|(x－1)(x－4)>0}．若A∪B＝R，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，3) C．[1，3] D．[3，＋∞) 解析：选B．因为集合A＝{x|a－2<x<a＋3}，B＝{x|(x－1)(x－4)>0}＝{x|x<1或x>4}，且A∪B＝R，所以解得1<a<3，即a的取值范围是(1，3). 考点四　集合的新定义 　(多选)(2026·吉林联考)对于集合A，若∀x∈A，2－x∈A，则称A为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是(　　) A．{－1，0，1，2，3} B．{x|x＝2k－1，k∈Z} C． D．{y|y＝1＋sin x} 【解析】　当x＝－1，0，1，2，3时，2－x∈{－1，0，1，2，3}，故A正确；{x|x＝2k－1，k∈Z}为全体奇数构成的集合，当x为奇数时，2－x也为奇数，故B正确；{y|y＝}＝{y|y≠0}，则2∈{y|y≠0}，但2－2＝0∉{y|y≠0}，故C错误；{y|y＝1＋sin x}＝[0，2]，当x∈[0，2]时，2－x∈[0，2]，故D正确． 【答案】　ABD 【感悟进阶】　解决集合新定义问题的注意点 (1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中． (2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素． 　(2026·北京期中)定义某种运算“⊗”如下：a⊗b＝ 则集合M＝中的元素个数是______． 解析：因为a⊗b＝6，且a，b∈N*， 若a，b的奇偶性相同，则a＋b＝6，满足条件的(a，b)有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)； 若a，b的奇偶性不相同，则a×b＝6， 满足条件的(a，b)有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1). 综上所述，集合M中的元素个数是9. 答案：9 学科网（北京）股份有限公司 $