第1章 [微拓展] 柯西不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

　柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).

2.二维形式的柯西不等式的变式,

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).

，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或a1∶b1＝a2∶b2＝…＝an∶bn时，等号成立．

　(1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为________．

(2)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值为________．

【解析】　(1)(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，所以x2＋y2≥13，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时取等号．所以x2＋y2的最小值为13.

(2)x＋＋＝(＋＋)(x＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9，当且仅当x＝3，y＝6，z＝9时，等号成立，即x＋＋的最小值为9.

【答案】　(1)13　(2)9

　1.函数y＝5＋的最大值为 ________．