第1章 [微拓展] 柯西不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦柯西不等式高考核心考点，涵盖二维形式、向量形式及变式，按“公式推导-变式应用-真题演练”逻辑构建知识体系。通过考点梳理明确公式结构，方法指导解析构造技巧，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破不等式应用难点。 资料以“数学思维”培养为核心，如在求x²+y²最小值时，引导学生观察2x+3y=13与平方项关系，构造柯西不等式结构，发展推理意识与抽象能力。设置基础例题与综合练习题分层训练，配合规范解析过程，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

　柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式, 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立). ，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或a1∶b1＝a2∶b2＝…＝an∶bn时，等号成立． 　(1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为________． (2)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值为________． 【解析】　(1)(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，所以x2＋y2≥13，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时取等号．所以x2＋y2的最小值为13. (2)x＋＋＝(＋＋)(x＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9，当且仅当x＝3，y＝6，z＝9时，等号成立，即x＋＋的最小值为9. 【答案】　(1)13　(2)9 　1.函数y＝5＋的最大值为 ________． 解析：由题意得解得1≤x≤5，y2＝(5＋)2＝(5＋·)2≤(52＋2)(x－1＋5－x)＝108，当且仅当x＝<5时等号成立，所以y≤6. 答案：6 2．已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________． 解析：(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)＝9，所以ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时，等号成立，所以ax＋by＋cz的最大值为3. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $