第1章 第7讲 一元二次不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦一元二次不等式核心考点，依据课标要求构建“定义-三个二次关系-分式与绝对值不等式”的知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生突破含参不等式分类讨论等难点。 资料以函数图象为直观工具培养数学眼光，通过含参不等式分类讨论发展推理能力，设计穿根法解高次不等式等活动。分层练习覆盖基础到真题，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第7讲　一元二次不等式 课标要求　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．　3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a，b，c为常数，且a≠0).　 提醒　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 2．三个“二次”的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 常用结论　 1．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔ 2．绝对值型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)ax2＋bx＋c<0为一元二次不等式．(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.　(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．(必修第一册P55T1(2)改编)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为________． 解析：由(x＋1)(3－2x)≥0，得(x＋1)(2x－3)≤0，所以不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 答案：{x|－1≤x≤} 3．(用结论)(2025·上海卷)不等式<0的解集为________． 解析：原不等式等价于(x－3)(x－1)<0，解得1<x<3. 答案：(1，3) 4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－<x<}，则a＋b＝________． 解析：依题意知 解得故a＋b＝－14. 答案：－14 5．若关于x的不等式x2－2ax＋18>0在R上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意得Δ＝4a2－4×18<0，解得－3<a<3. 答案：(－3，3) 考点一　一元二次不等式的解法 角度1　不含参数的不等式的解法 　解关于x的不等式． (1)－2x2＋x＋3<0； (2)－1<x2＋2x－1≤2. 【解】　(1)－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.则原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞). (2)原不等式等价于 即由①得x<－2或x>0；由②得－3≤x≤1.画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2，或0<x≤1}． 【感悟进阶】　解不含参数的一元二次不等式的步骤 角度2　含参数的不等式的解法 　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).　 【解】　原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－)(x－1)<0. 当a>1时，0＜＜1，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，＞1，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，原不等式的解集为}；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为}． 【感悟进阶】　解含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类如下： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类； (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数； (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 　1.不等式－2x2＋3x＋5＞0的解集为________． 解析：不等式－2x2＋3x＋5＞0等价于(2x－5)(x＋1)＜0，解得－1<x<，则原不等式的解集为(－1，). 答案：(－1，) 2．解不等式12x2－ax>a2(a∈R). 解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，x1<x2，原不等式的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)； 当a＝0时，x1＝x2＝0， 原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，x1>x2，原不等式的解集为 (－∞，)∪(－，＋∞). 考点二　三个二次之间的关系 　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞) 【解析】　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，A正确； －2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则所以a＋b＋c＝－6a<0，B错误； 不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，得x<－6，C正确； 不等式cx2－bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0， 解得x<－或x>，D正确． 【答案】　ACD 【感悟进阶】　(1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解． 　已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示．则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为____________． 解析：根据题中二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 考点三　几类重要的不等式的解法 　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式(x2－4x－5)(x－1)>0的解集为{x|－1<x<1或x>5} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．不等式－x≤1的解集为{x|0≤x≤2} 【解析】　A选项，不等式化简为(x＋1)·(x－5)(x－1)>0，由穿根法可知不等式的解集为{x|－1<x<1，或x>5}，A正确；B选项，≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔⇔－3≤x<2，B正确；C选项，|x－2|≥1⇔x－2≥1或x－2≤－1，即x≥3或x≤1，C错误；D选项，原不等式等价于即解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|0 ≤x≤2}，D正确． 【答案】　ABD 【感悟进阶】　(1)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． (2)解高次不等式的思路：先因式分解，再用穿根法． (3)解无理不等式，关键在于将其转化为有理不等式(组)求解，变形应为同解变形． 　1.(2025·北京段考)不等式||>的解集是(　　) A．(0，2) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：选A．根据题意可知，若≥0，可得||＝恒成立，不等式无解，故<0，即x(x－2)<0，解得0<x<2. 综上，该不等式的解集是(0，2). 2．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|x>}，则A∩B＝(　　) A．[，1] B．　[3，4] C．　[1，4] D．[，3] 解析：选B．由不等式≤2可得不等式组解得A＝{x|－1≤x≤0或3≤x≤4}．所以A∩B＝{x|－1≤x≤0或3≤x≤4}∩{x|x＞}＝{x|3≤x≤4}，即A∩B＝[3，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $