第1章 第7讲 一元二次不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第7讲　一元二次不等式

课标要求　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．　3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．

1．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a，b，c为常数，且a≠0).　

提醒　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．

2．三个“二次”的对应关系

常用结论　

1．分式不等式的解法

(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).

(2)≥0(≤0)⇔

2．绝对值型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c；

(2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)ax2＋bx＋c<0为一元二次不等式．(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.　(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

2．(必修第一册P55T1(2)改编)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为________．

解析：由(x＋1)(3－2x)≥0，得(x＋1)(2x－3)≤0，所以不等式的解集为{x|－1≤x≤}．

答案：{x|－1≤x≤}

3．(用结论)(2025·上海卷)不等式<0的解集为________．

解析：原不等式等价于(x－3)(x－1)<0，解得1<x<3.

答案：(1，3)

4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－<x<}，则a＋b＝________．

解析：依题意知

解得故a＋b＝－14.

答案：－14

5．若关于x的不等式x2－2ax＋18>0在R上恒成立，则实数a的取值范围为

________．

解析：由题意得Δ＝4a2－4×18<0，解得－3<a<3.

答案：(－3，3)

考点一　一元二次不等式的解法

角度1　不含参数的不等式的解法

　解关于x的不等式．

(1)－2x2＋x＋3<0；

(2)－1<x2＋2x－1≤2.

【解】　(1)－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.则原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞).

(2)原不等式等价于

即由①得x<－2或x>0；由②得－3≤x≤1.画出数轴，如图，

可得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2，或0<x≤1}．

【感悟进阶】　解不含参数的一元二次不等式的步骤

角度2　含参数的不等式的解法

　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).　

【解】　原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－)(x－1)<0.